请教矩阵(线性代数)方面大神 这个不等式,第一步到第二步是怎么来的

发布网友 发布时间：2024-10-02 19:38

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热心网友 时间：2024-10-19 22:45

从你贴的片段来推测，Γ_v^{-1} 应该是一个 Hermite 半正定矩阵，简单一点记成 A
基于这个假定

d^H A d 是一个数，所以 d^H A d = tr(d^H A d) = tr(A dd^H)
对于同型矩阵，tr(X^H Y)其实是一个内积（自己验证），所以有 Cauchy-Schwarz 不等式
|tr(X^H Y)|^2 <= tr(X^H X) tr(Y^H Y)
用在这里就是
(tr(A dd^H))^2 <= tr(A^2) tr[(dd^H)^2] = tr(A^2) (d^Hd)^2
直接看 A 的特征值（都是非负实数）易得 tr(A^2) <= [tr(A)]^2
这样就有 d^H A d <= tr(A) (d^Hd)

这个估计非常粗糙，如果你知道范数的话更好的估计是
d^H A d <= ||d^T||_2 ||A||_2 ||d||_2 = (d^Hd) ||A||_2 （这里对 A 没有诸如 Hermite 半正定这样的要求）
对于 Hermite 半正定阵，看特征值就知道 ||A||_2 <= tr(A) 是显然的

热心网友 时间：2024-10-19 22:40

从你贴的片段来推测，Γ_v^{-1} 应该是一个 Hermite 半正定矩阵，简单一点记成 A
基于这个假定

d^H A d 是一个数，所以 d^H A d = tr(d^H A d) = tr(A dd^H)
对于同型矩阵，tr(X^H Y)其实是一个内积（自己验证），所以有 Cauchy-Schwarz 不等式
|tr(X^H Y)|^2 <= tr(X^H X) tr(Y^H Y)
用在这里就是
(tr(A dd^H))^2 <= tr(A^2) tr[(dd^H)^2] = tr(A^2) (d^Hd)^2
直接看 A 的特征值（都是非负实数）易得 tr(A^2) <= [tr(A)]^2
这样就有 d^H A d <= tr(A) (d^Hd)

这个估计非常粗糙，如果你知道范数的话更好的估计是
d^H A d <= ||d^T||_2 ||A||_2 ||d||_2 = (d^Hd) ||A||_2 （这里对 A 没有诸如 Hermite 半正定这样的要求）
对于 Hermite 半正定阵，看特征值就知道 ||A||_2 <= tr(A) 是显然的