7.4.1 图的连通性问题(2)Prime & Kruskal算法

发布网友发布时间：2024-10-03 04:30

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热心网友时间：2024-10-19 12:52

本文主要介绍了图的连通性问题，包含生成树与最小生成树的概念及其重要性质。生成树是含有连通图全部顶点和n-1条边的极小连通子图，且若在生成树上添加一条边必然形成环路。生成树可能不唯一，但若图中边数小于n-1，则该图无法形成生成树。最小生成树是指在连通网的所有生成树中，各边代价之和最小的树，具有关键性质：若连通网N中U是顶点集V的一个非空子集，具有最小权值的边(u, v)其中u∈U，v∈V-U，则存在包含这条边的最小生成树。

普里姆算法是一种用于构造最小生成树的策略。以连通网N=(V,{E})为例，算法从一个顶点开始逐步增加U中的顶点，确保每次增加的边不会形成环路。每增加一个顶点，就更新辅助数组closedge[ ]，记录从U到V-U具有最小代价的边。算法包含两个关键步骤：首先将初始顶点加入U，然后循环n-1次，对于每个顶点i，更新closedge[i].lowcost，即从U到i的最小代价边。该算法需使用辅助数组来跟踪最小边的信息，确保在构建最小生成树的过程中，边的添加不会引起回路。

克鲁斯卡尔算法与普里姆算法不同，它从连通网的所有边开始，按照边的权值从小到大顺序逐步增加生成树的边。算法的核心思想是增加生成树的边，同时避免形成环路。通过并查集数据结构，克鲁斯卡尔算法能够在构建最小生成树的过程中高效地检测并避免回路的形成。算法的关键步骤是遍历所有边，按照权值排序后逐个尝试添加边，若添加边不会形成环路，则将其加入最小生成树中。通过这种方式，克鲁斯卡尔算法能够构造出具有最小总代价的最小生成树。

7.4.1 图的连通性问题(2)Prime &amp; Kruskal算法

7.4.1 图的连通性问题(2)Prime & Kruskal算法