直角三角形ABC的周长为4+2^2,求此三角形面积的最大值

发布网友发布时间：2024-10-03 04:49

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热心网友时间：2024-11-16 12:50

周长是4+2√2是吧？设二直角边为a、b(a、b均大于零)，则a+b+√（a^2+b^2）=4+2√2。
又因为（a-b）^2≥0,即a^2+b^2-2ab≥0
所以a^2+b^2≥2ab得到√(a^2＋b^2)≥√(2ab)
从上式可知a^2+b^2+2ab≥2ab+2ab，即（a+b）^2≥4ab，得到a＋b≥2√(ab
所以4+2√2≥2√(ab)＋√(2ab)
又因为面积S=0.5*a*b
代入求解不等式可知S≤(4＋2√2)^2/[4(3＋2√2)] =2

热心网友时间：2024-11-16 12:53

4+2^2不就是8么

热心网友时间：2024-11-16 12:49

设三角形的三边为a，b，c，其中c为斜边，周长为L
所以有L＝a＋b＋c＝a＋b＋√(a^2＋b^2)
因为a＋b≥2√(ab)，√(a^2＋b^2)≥√(2ab)
所以L≥2√(ab)＋√(2ab)
把S＝ab/2代入可求得
S≤L^2/[4(3＋2√2)]
即周长为定值L的直角三角形的面积最大值是L^2/[4(3＋2*√2)]
当L＝4＋2√2时
S的最大值＝(4＋2√2)^2*L/[4(3＋2*√2)]＝2
此时，a＝b＝2，三角形ABC是一个等腰直角三角形
一般地，有下面的一般性结论：“周长一定的直角三角形中，当它为等腰直角三角形时面积最大”