在三角形ABC中,cos(A-B)+cosC=1-cos2C ,试判定三角形形状

发布网友发布时间：2024-10-02 20:11

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热心网友时间：2024-12-04 06:12

因为(a+b)/a=sinb/(sinb-sina)，所以(a+b)/a=b/(b-a)，
∴ab=b^2-a^2,-------(1)，
∵cos(a-b)+cosc=1-cos2c，
∴cos(a-b)-cos(a+b)=1-cos2c
∴2sinasinb=2(sinc)^2，
∴ab=c^2--------(2)，
由（1）（2）两式得：a^2+c^2=b^2,
∴△abc是直角三角形。
∵(a+c)^2=a^2+c^2+2ac<=a^2+c^2+a^2+c^2=2b^2，
∴(a+c)/b<=根号2，
又因为两边之和大于第三边，即a+c>b，
∴
1<（a+c)/b<=根号2

热心网友时间：2024-12-04 06:12

cos(A-B)=cosA*cosB+sinA*sinB
cosC=-cos(A+B)=-cosA*cosB+sinA*sinB
原式左边=2*sinA*sinB
原式右边=1-(1-2sinC*sinC)=2*sinC*sinC
sinA*sinB=sinC*sinC
a*b=c*c=a*a+b*b-2*a*b*cosC
a*a+b*b=a*b*(1+2*cosC)≥2ab
1>cosC≥1/2，0
B≥π/3
A>0与C≥π/3相加得，A+C≥π/3
所以，π/3≤B≤2*π/3，后面的等号只有当A=B时成立，舍去，即，π/3≤B<2*π/3
综上所述，当A=B时，C=π/3，三角形ABC为等边三角形，
当A、B不相等时，只有A
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