...+xydydz+yzdzdx,∑为平面x=o,y=0,z=0,x+y+z=1所围成的

发布网友 发布时间：2024-10-03 12:13

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热心网友 时间：2天前

由于轮换对称性,对三个坐标平面上的积分面的第二类曲面积分值相等,不妨取左侧面对该积分计算：

由于该面上的单位法向量为n=(0,-1,0) 带入积分有∫∫xydydz+yzdzdx+xzdxdy= -∫∫yzdS 其中dS=dzdx 。

所以∫∫xydydz+yzdzdx+xzdxdy= -∫∫yzdzdx,化为二重积分,积分面为左侧面,带入y=0,再计算x+y+z=1面上的积分,由于轮换对称性,在该积分面上∫∫xydydz=∫∫yzdzdx=∫∫xzdxdy。

则∫∫xydydz+yzdzdx+xzdxdy=3∫∫xzdxdy 由于定向为正向,则由1-x-y=z带入得二重积分。

3∫∫xzdxdy=3∫∫x（1-x-y）dxdy 积分面为xy坐标面上的0≤x≤1 0≤y≤1-x 最终计算值为1／8。

1、公式种类

不定积分

设

是函数f（x）的一个原函数，我们把函数f（x）的所有原函数F（x）+C（C为任意常数）叫做函数f（x）的不定积分，记作，即∫f（x）dx=F（x）+C。

其中∫叫做积分号，f（x）叫做被积函数，x叫做积分变量，f（x）dx叫做被积式，C叫做积分常数，求已知函数不定积分的过程叫做对这个函数进行积分。

注：∫f（x）dx+c1=∫f（x）dx+c2, 不能推出c1=c2

定积分

积分是微积分学与数学分析里的一个核心概念。通常分为定积分和不定积分两种。直观地说，对于一个给定的实函数f（x），在区间[a，b]上的定积分记为：

若f（x）在[a,b]上恒为正，可以将定积分理解为在Oxy坐标平面上，由曲线（x，f（x））、直线x=a、x=b以及x轴围成的面积值（一种确定的实数值）。

2、公式汇总

不定积分

不定积分的积分公式主要有如下几类：含ax+b的积分、含√（a+bx）的积分、含有x^2±α^2的积分、含有ax^2+b（a>0）的积分、含有√（a²+x^2） （a>0）的积分、含有√（a^2-x^2） （a>0）的积分。

含有√（|a|x^2+bx+c） （a≠0）的积分、含有三角函数的积分、含有反三角函数的积分、含有数函数的积分、含有对数函数的积分、含有双曲函数的积分。

含a+bx的积分

含有a+bx的积分公式主要有以下几类：

含√（a+bx）的积分

含有√（a+bx）的积分公式主要包含有以下几类：

3、积分性质

线性性

积分是线性的。如果一个函数f可积，那么它乘以一个常数后仍然可积。如果函数f和g可积，那么它们的和与差也可积。

保号性

如果一个函数f在某个区间上黎曼可积，并且在此区间上大于等于零。那么它在这个区间上的积分也大于等于零。如果f勒贝格可积并且几乎总是大于等于零，那么它的勒贝格积分也大于等于零。

可积函数f和g相比，f（几乎）总是小于等于g，那么f的（勒贝格）积分也小于等于g的（勒贝格）积分。[6][3]

如果黎曼可积的非负函数f在

上的积分等于0，那么除了有限个点以外，f = 0。如果勒贝格可积的非负函数f在

上的积分等于0，那么f几乎处处为0。如果

中元素A的测度μ （A）等于0，那么任何可积函数在A上的积分等于0。

函数的积分表示了函数在某个区域上的整体性质，改变函数某点的取值不会改变它的积分值。对于黎曼可积的函数，改变有限个点的取值，其积分不变。对于勒贝格可积的函数，某个测度为0的集合上的函数值改变，不会影响它的积分值。

如果两个函数几乎处处相同，那么它们的积分相同。如果对

中任意元素A，可积函数f在A上的积分总等于（大于等于）可积函数g在A上的积分，那么f几乎处处等于（大于等于）g。

热心网友 时间：2天前

热心网友 时间：2天前

简单分析一下，答案如图所示