已知f(x)=xlnx+ax,g(x)=-x2-2,(1)对一切x∈(0,+∞),f(x)≥g(x)恒成 ...

发布网友发布时间：2024-10-03 12:59

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热心网友时间：2024-10-29 10:59

（1）对一切x∈（0，+∞），f（x）≥g（x）恒成立，即xlnx+ax≥-x2-2恒成立，即?a≤lnx+x+2x在x∈（0，+∞）上恒成立．
令F（x）=lnx+x+2x，
则F′(x)＝1x+1?2x2=x2+x?2x2=(x+2)(x?1)x2，
在（0，1）上F′（x）＜0，在（1，+∞）上F′（x）＞0，
因此，F（x）在x=1处取极小值，也是最小值，即Fmin（x）=F（x）=3，
∴-a≤3，∴a≥-3．
（2）当a=1时，f（x）=xlnx+x，
f′（x）=lnx+2，令f′（x）=0，解得x=1e2．
①当0＜m＜1e2时，在x∈[m，1e2)上f′（x）＜0；在x∈(1e2，m+3]上f′（x）＞0．
因此，f（x）在x＝1e2处取得极小值，也是最小值．fmin（x）=-1e2．
由于f（m）＜0，f（m+3）=（m+3）[ln（m+3）+1]＞0．
因此，fmax（x）=f（m+3）=（m+3）[ln（m+3）+1]．
②当m≥1e2，f′（x）≥0，因此f（x）在[m，m+3]上单调递增，
∴fmin（x）=f（m）=m（lnm+1），fmax（x）=f（m+3）=（m+3）[ln（m+3）+1]．
（3）证明：问题等价于证明xlnx+x＞xex?2e，x∈（0，+∞）．
由（Ⅱ）知a=-1时，f（x）=xlnx+x的最小值是?1e2，
当且仅当x＝1e2时取得，
设G（x）=xex?2e，x∈（0，+∞），则G′(x)＝已赞过已踩过你对这个回答的评价是？评论收起 // 高质or满意or特型or推荐答案打点时间 window.iPerformance && window.iPerformance.mark('c_best', +new Date); 推荐律师服务：若未解决您的问题，请您详细描述您的问题，通过百度律临进行免费专业咨询为你推荐：特别推荐“网络厕所”会造成什么影响？华强北的二手手机是否靠谱？新生报道需要注意什么？癌症的治疗费用为何越来越高？百度律临—免费法律服务推荐超3w专业律师，24H在线服务，平均3分钟回复免费预约随时在线律师指导专业律师一对一沟通完美完成等你来答换一换帮助更多人下载百度知道APP，抢鲜体验使用百度知道APP，立即抢鲜体验。你的手机镜头里或许有别人想知道的答案。扫描二维码下载×个人、企业类侵权投诉违法有害信息,请在下方选择后提交

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