用不等号连接下列各式 (a^2+b^2)/(a+b), (a+b)/2 ,根号下(a^2+b^2...

发布网友发布时间：2024-10-05 08:03

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热心网友时间：2024-10-29 19:25

因为：（a-b）^2>=0,所以：a^2+b^2>=2ab,同理a+b>=2根号下ab
而：2/（1/a+1/b）=2ab/(a+b)
所以有：(a^2+b^2)/(a+b)>=2/（1/a+1/b） ..................(1)
(a+b)/2>=根号下ab ..................(2)
根号下(a^2+b^2)/2>=根号下ab ..................(3)
又有：[(a+b)/2]/[根号下(a^2+b^2)/2]>=根号下ab/[根号下(a^2+b^2)/2]
>=根号下[2ab/(a^+b^2)]<=1
所以有:根号下(a^2+b^2)/2(a^2+b^2)/2>=(a+b)/2
即：根号下(a^2+b^2)/2>=(a+b)/2>=根号下ab ----------------（4）
同理；根号下ab >=2/（1/a+1/b）
也即：根号下(a^2+b^2)/2>=(a+b)/2>=根号下ab >=2/（1/a+1/b）
而：[根号下(a^2+b^2)/2]/[(a^2+b^2)/(a+b)]=(a+b)/[根号下2（a^2+b^2）]
<=(a+b)/2根号下ab
<=2根号下ab /2根号下ab =1
即：[(a^2+b^2)/(a+b)]>=[根号下(a^2+b^2)/2] ....................(5)
综合以上各式有：
(a^2+b^2)/(a+b)>=根号下(a^2+b^2)/2>=(a+b)/2>=根号下ab >=2/（1/a+1/b）
以上所有的“=”都在a=b时成立。

热心网友时间：2024-10-29 19:21

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热心网友时间：2024-10-29 19:23