重要不等式权方和不等式

发布网友发布时间：2024-10-05 04:23

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热心网友时间：2024-11-29 10:46

当处理正整数a1, a2, ..., an和正整数b1, b2, ..., bn的权方和不等式时，我们有两个关键结果:

1. 当m大于0或者小于-1时，不等式成立:

(a1^(m+1) / b1^m) + (a2^(m+1) / b2^m) + (a3^(m+1) / b3^m) + ... + (an^(m+1) / bn^m) ≥ [(a1 + a2 + a3 + ... + an)^(m+1)] / [(b1 + b2 + b3 + ... + bn)^m]

只有当a1/b1等于a2/b2等于...等于an/bn时，等号才会出现。

2. 当-1小于m小于0时，情况类似:

(a1^(m+1) / b1^m) + (a2^(m+1) / b2^m) + (a3^(m+1) / b3^m) + ... + (an^(m+1) / bn^m) ≤ [(a1 + a2 + a3 + ... + an)^(m+1)] / [(b1 + b2 + b3 + ... + bn)^m]

同样，只有当比例a1/b1等于a2/b2等于...等于an/bn时，等号成立。

权方和不等式的另一种表述，即Holder不等式，它展示了正实数ai和bi的乘积和与它们的p次幂和q次幂的乘积之间的关系:

(∑[i=1, n] ai * bi) ≤ ((∑[i=1, n] ai^p)^(1/p)) * ((∑[i=1, n] bi^q)^(1/q))

其中1/p + 1/q = 1，确保了不等式的平衡。

扩展资料

重要不等式，是指在初等与高等数学中常用于计算与证明问题的不等式。包括，排序不等式、均值不等式、完全的均值不等式、幂平均不等式、权方和不等式、柯西不等式、切比雪夫不等式、琴生不等式等。