如图,已知△ABC和△ABD均为等腰直角三角形,∠ACB=∠BAD=90°,点P为...

发布网友发布时间：2024-10-05 04:22

共1个回答

热心网友时间：2024-10-05 08:53

证明：（1）∵PE⊥PB，
∴∠EPB=90°，
∵∠BAD=90°，
∴∠AEP=90°-∠1，∠ABP=90°-∠2，
∵∠1=∠2，
∴∠AEP=∠ABP；

（2）PB=PE，
如图3，过P作PM⊥AC交AB与M，
在等腰直角三角形ABC中，∠BAC=45°，
∴∠PAM=∠AMP=45°，
∴PA=PM，
∵∠PAE=45°+90°=135°，∠PMB=180°-45°=135°，
∴∠PAE=∠PMB，
在△AEP和△MBP中∠PAE＝∠PMB∠AEP＝∠ABPAP＝PM，
∴△APE≌△MPB（AAS），
∴PB=PE；

（3）成立；
如图4，过P作PM⊥AB于点M，作PN⊥DA交DA延长线于点N，
∵∠PAB=∠PAN=45°，
∴PM=PN，
∵∠N=∠PMA=∠MAE=90°，
∴四边形ANPM是矩形，∴∠MPN=90°．
∵∠3+∠MPE=∠4+∠MPE=90°，
∴∠3=∠4，
∵∠PMB=∠N=90°，
在△PBM和△PEN中∠3＝∠4PM＝PN∠PMB＝∠N，
∴△PBM≌△PEN（ASA），
∴PB=PE．