单射与满射的证明过程

发布网友发布时间：2024-10-05 03:16

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热心网友时间：2024-10-09 03:25

单射和满射是线性映射中的两个重要概念。简单来说，单射指的是映射一个向量到另一个向量时，不会出现多个向量被映射到同一个向量的情况；而满射指的是映射一个向量到另一个向量时，每个向量都有至少一个对应的向量。
以下是单射和满射的证明过程：
1. 单射的证明过程：
假设有一个线性映射 $f:V
ightarrow W$。如果 $f$ 是单射，那么对于任意 $u,vin V$，如果 $f(u)=f(v)$，则必须有 $u=v$。
证明：假设 $f(u)=f(v)$，那么 $f(u)-f(v)=0$。因为 $f$ 是线性映射，所以有 $f(u-v)=0$。因为 $f$ 是单射，所以 $u-v=0$，即 $u=v$。
因此，如果对于任意的 $u,vin V$，$f(u)=f(v)$ 都意味着 $u=v$，那么 $f$ 就是单射。
2. 满射的证明过程：
假设有一个线性映射 $f:V
ightarrow W$。如果 $f$ 是满射，那么对于任意 $win W$，都有至少一个 $vin V$，使得 $f(v)=w$。
证明：假设 $f$ 是满射，那么对于任意的 $win W$，都有至少一个 $vin V$，使得 $f(v)=w$。因为 $f$ 是线性映射，所以对于任意的 $u,vin V$，有 $f(u+v)=f(u)+f(v)$ 和 $f(kv)=kf(v)$。
假设 $v_1,v_2in V$，且 $f(v_1)=f(v_2)$。那么 $f(v_1-v_2)=0$。因为 $f$ 是线性映射，所以 $f(0)=0$。因此，$v_1-v_2$ 是 $V$ 中的一个零向量。
因为 $f$ 是满射，所以对于任意的 $win W$，都有至少一个 $vin V$，使得 $f(v)=w$。因此，对于任意的 $win W$，都可以找到一个 $vin V$，使得 $f(v)=w$。因为 $v$ 是任意的，所以任意的 $win W$ 都可以被表示为 $f(v)$ 的形式。
因此，如果对于任意的 $win W$，都可以找到一个 $vin V$，使得 $f(v)=w$，那么 $f$ 就是满射。