程序员的数学课15 递归:如何计算汉诺塔问题的移动步数?

发布网友发布时间：2024-10-05 01:16

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热心网友时间：2024-10-05 01:49

递归，作为程序开发中的重要思维方式，体现在诸如代码缩进、树形数据结构、XML 语法和快速排序等场景。这一讲，我们将通过实例——汉诺塔问题，来理解递归的核心概念。

汉诺塔问题要求将 N 个盘子从 A 柱子移动到 C 柱，遵守规则：每次只能移动一个盘子，且大盘子不能在小盘子上。解决这个问题的关键在于观察和递归。我们把大问题分解为小问题，比如将 N-1 个盘子从 A 移动到 B，再将剩下的一个盘子直接移动到 C，然后将 B 上的盘子再次移动到 C。这个过程可以反复应用，直到只剩一个盘子。

通过数学表达，我们可以找到汉诺塔问题的移动步数公式，如 H(N) = H(N-1) + 2H(N-1) + 1。通过求解，我们发现移动 n 个盘子的最小步数是 2^n - 1。例如，5 个盘子需要 31 步，这与代码实现的结果一致。

在代码层面，我们定义了函数 hanoi(N,x,y,z)，利用递归调用自身来解决子问题。核心是函数体内的“自己调用”逻辑，这正是递归的本质。然而，递归并非总是高效，特别是存在重复计算时，如斐波那契数列的递归实现。为解决这个问题，我们可以引入动态规划或缓存中间结果。

递归与循环的相似之处在于它们都通过分解问题来解决问题，但迭代次数和问题复杂性不同。练习题是：编写一个递归函数，输入正整数 n，输出从 3 到 n 的和。下节课，我们将探讨“二分法”，敬请期待。