已知正数a、b、c满足5c-3a≤b≤4c-a,clnb≥a+clnc,求b/a的取值范围
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发布时间：2024-10-10 07:24
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时间：1天前
【1】
因为a, b, c均为正数，条件不等式的各边均除以c,
可得：5-3(a/c)≤b/c≤4-(a/c)
令：x=a/c, y=b/c. 上面不等式可化为：
5-3x≤y≤4-x.
即：5-3x≤y ，且 4-x≥y.
这个不等式组确定的规划域，就是直线5-3x≤y以下，
直线4-x≥y以上的部分，y轴的右边。
其实，就是以A(0,5), B(0,4), C(1/2, 7/2)三点为顶点的三角形
不包括AB边。
clnb≥a+clnc.===>c(lnb-lnc)≥a.===>ln(b/c)≥a/c
===>lny≥x. ===>y≥e^x.
易知，由这个不等式确定的规划域，就是曲线y=e^x的上部，
数形结合可知，这个规划域包括上面的规划域。
∴由上面不等式确定的规划域，就是以
A(0, 5), B(0,4), C(1/2, 7/2)为顶点的三角形，（不包括AB边）
【2】
显然，b/a=(b/c)/(a/c)=y/x.
y/x的意义，就是过原点O(0,0)与规划域内的点P( x,y)的直线的斜率k。
数形结合可知：k≥7.
∴y/x∈[7, +∝)
即：b/a∈[7, +∞)
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时间：1天前
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时间：1天前
从而 b/a<=2*4-1=7,特别当b/a=7时，第二个不等式成立。等号成立当且仅当a:b:c = 1:7:2.
又c ln b≥a+c ln c 知道0<a<=cln(b/c)
从而b/a>=(b/c)/ln(b/c),设函数f(x)=x/ln(x).(x>1)由导数知识知道函数的最小值为e，从而b/a>=e,
等号当且仅当b/c=e,b/a=e成立。代入第一个不等式知：2<=b/a=e<=3，不等式成立,从而e可以取得。等号成立当且仅当a:b:c = 1:e:1.
从而b/a的取值范围是[e,7]双闭区间
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时间：1天前
