有限元的基本理论
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发布时间：2022-05-08 15:49
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时间：2024-01-25 18:43
为避开抽象的概念，现以平面问题为对象进行有限元理论的推导说明。在平面区域内用有限元方法进行分析，单元节点上的力学状态通常由下列参数表征：
（1）节点位移量
考虑具有直线边界的单元e，其节点为i，j，m，…。单元内任意点的位移u以列矢量
来表示：
油气藏现今地应力场评价方法及应用
式中N的分量一般为坐标（x，y）的函数，ae表示e的全部节点位移，i=1，2，3…是单元节点的局部符号。
以平面应力场为例，则下式表示单元内任意点（x，y）的位移x、y值：
油气藏现今地应力场评价方法及应用
且：
油气藏现今地应力场评价方法及应用
ai表示节点i的位移量。
（2）节点应变
如给定单元内所有节点的位移量，则可求出任意点的应变，其关系式可表示为：
ε=Lu （1-38）
式中L为适当的线性算子。根据式（1-33），上式可变为：
ε=［B］a （1-39）
此处：
［B］=［L］［N］ （1-40）
对于平面应力的场，相关联的应变将在平面内产生，在确定出算子L后，而位移的函数则可表示如下：
油气藏现今地应力场评价方法及应用
根据上式和已知的Ni，Ni，Nm函数，容易求得矩阵B。如果这些函数是线性函数，则单元内的应变为恒定值。
（3）单元应力
一般来讲，单元材料随温度的变化、收缩、结晶等发生应变。这种应变以εi表示，由于实际的应变和初期应变ε0存在差值，因而产生了应力。而且，受某个已知系统的影响，为了便于分析，从分析初期开始，通常假定物体处于受初期残留应力作用的状态。ε0有时能被测定出来，但如果不清楚材料来源的话，就不能预测其值。另外，此应力只能适用于一般的应力-应变关系式。基于以上考虑及一般的弹性运动状态，线性应力和应变的关系式可以表示如下：
σ=D（ε-ε0）+σ0（1-42）
这里，σ0是初始应力，D是含有适当材料常数的弹性矩阵。
下面进一步说明有关弹性应力场的问题。对于已定义的应变，必须考虑三个应力分量，表示为：
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矩阵D可以用普通的各向同性弹性体关系式求得：
油气藏现今地应力场评价方法及应用
油气藏现今地应力场评价方法及应用
于是：
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（4）等价节点力
把作用于单元边界上的应力及单元内的分布荷载（物体力—body force）等称为静态等价节点力，用下式表示：
油气藏现今地应力场评价方法及应用
这里，各节点的力
与对应节点位移ai具有相同的分量，而且应按对应位移的正确顺序排列。另外，物体力b被定义为作用在单元内部单位面积上的力，其作用方向与同一位移中位移u的方向相对应。
例如，平面应力场的情况下，节点力为：
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分量U、V的方向与变形u、v的方向对应。另外，物体力为：
油气藏现今地应力场评价方法及应用
其中：bx、by为其分量。
把节点力与实际的边界应力、物体力等静态地等价起来的最简单方法是给任意的（假想）节点位移，由此使各种力和应力所产生的外部功与内部功相等。如果将赋给节点的假想位移表示为δae，则根据式（1-35）及式（1-41）单元内产生的位移和应变可由下式表示：
δu=Nδae及δε=Bδae（1-51）
节点力的功等于各个力的分量与相对应假想位移分量的积的和，可用矩阵可表示为：
δaeTqe（1-52）
同样，单位面积上应力及物体力所做的内部功为：
δεTσ-δuTb （1-53）
或者，代入式（1-52）得：
δaT（BTσ-NTB） （1-54）
如果令由式（1-52）得到的外部功等于单元总体积Ve上积分得全部内部功时，则有：
油气藏现今地应力场评价方法及应用
此式对于任意的应力-应变关系都成立。
将式（1-42）代入式（1-54）得：
qe=Keae+fe（1-56）
式中：
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且：
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最后式子中的三项各为物体力、初期应变和初期应力的力的表现形式。任意的构造单元特性均可用下式表示：
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（5）全区域的一般化
至此，已阐明了假想功的原理仅对一个单元适用以及等价节点力的概念。在有限元法中，可通过建立每个单元节点的局部方程式导出式来分析区域内有限个节点的平衡方程式。因而，任意节点上的内力及外力可通过与该节点相连的所有单元在该节点上的内力及外力的总合来计算出来，即：
Ka+f=r （1-60）
另外，可将单元相互间的分布作用力、反作用力用等价节点进行置换，这一方法是很容易理解的。
