正弦定理怎样证明?

发布网友发布时间：2022-05-08 10:19

共3个回答

热心网友时间：2023-12-31 03:10

显然，只需证明任意三角形内，任一角的边与它所对应的正弦之比值为该三角形外接圆直径即可。
现将△ABC，做其外接圆，设圆心为O。我们考虑∠C及其对边AB。设AB长度为c。
若∠C为直角，则AB就是⊙O的直径，即c = 2R。
∵
∴
若∠C为锐角或钝角，过B作直径BD交⊙O于D，连接DA，显然BD=2R。
∵在同圆或等圆中直径所对的圆周角是直角。
∴∠DAB是直角。
若∠C为锐角，则D与C落于AB的同侧，此时
∵在同圆或等圆中同弧所对的圆周角相等。
∴∠D=∠C
∴
若∠C为钝角，则D与C落于AB的异侧，此时∠D=180°-∠C，亦可推出。
在△DAB中，应用正弦函数定义，知
因此，对任意三角形的任一角及其对边，均有上述结论。
考虑同一个三角形内的三个角及三条边，应用上述结果。可得。故对任意三角形，定理得证。
1定理内容编辑简介
正弦定理
在△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，三角形外接圆的半径为R。则有
即，在一个三角形中，各边和它所对角的正弦之比相等，该比值等于该三角形外接圆的直径长度。[1]定理变形
2应用领域编辑在解三角形中，有以下的应用领域：
1° 已知三角形的两角与一边，解三角形，
2° 已知三角形的两边和其中一边所对的角，解三角形，
3° 运用a：b：c=sinA：sinB：sinC解决角之间的转换关系。
注：直角三角形的一个锐角的对边与斜边的比叫做这个角的正弦。
正弦定理变形形式
3证明编辑

热心网友时间：2023-12-31 03:10

追答求采纳

热心网友时间：2023-12-31 03:11

追答

我去找书的