概率论,选择第二个,“相互独立”和“不相关”不是一回事吗?

发布网友发布时间：2022-05-09 01:28

共2个回答

热心网友时间：2024-01-27 22:05

X与Y独立，所以f(xy)=f(x)f(y)
X，Y不相关，E(XY)=E(X)E(Y)
（1）X与Y独立，则X与Y一定不相关
（2）X与Y不相关，则X与Y不一定独立
证明：
（1）由于X与Y独立，所以f(xy)=f(x)f(y),（f为概率密度函数）
于是:E(XY)=∫∫f(xy)dxdy
=∫∫[f(x)*f(y)]dxdy
=∫f(x)dx*∫f(y)dy
=E(X)E(Y)
所以：E(XY)=E(X)E(Y)，即X，Y不相关。

（2）反例：
X=cost,Y=sint，其中t是(0,2π]上的均匀分布随机变量。
易得X和Y不相关，因为：
E(XY)=E(cost sint)=（1/2π）*∫sint cost dt = 0
E(X)=（1/2π）* ∫cost dt = 0
E(Y)=（1/2π）* ∫sint dt = 0
所以E(XY)=E(X)E(Y)

但是他们是不独立的。
因为：
X和Y各自的概率密度函数在（-1,1）上有值，但是XY的联合概率密度只在单位圆内有值，所以f(XY)不等于f(x)*f(y),两者不独立。追问能不能举个例子？我还是不太明白？

热心网友时间：2024-01-27 22:06

不是一回事，相互独立，一件事的发生与否与另一件事的发生无关，不相关指两件发生的事没有相关关系。