高数试卷，都是基础知识，请大家帮忙
发布网友
发布时间：2022-04-22 02:46
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热心网友
时间：2024-02-04 20:35
二、
1.数列有界不一定收敛：
①例如 A={1,-1,1,-1,1,-1,.... } 即 An=(-1)^n （负1的n次方）
n→∞时，An在1和-1之间跳动，并不收敛于某一值。
而对任意n ,|An|≤1，所以数列A是有界的。
这说明，存在有界的数列但是不收敛。
②收敛的数列一定有界！
设数列Bn，当n→∞时收敛于b
证明数列Bn有界：
用反证法：假设数列Bn无界，则有：
根据Bn收敛，则有：
所以数列Bn无界不成立！
所以收敛的数列一定有界！
③只要举一个既收敛又有界的例子即可：（替换②部分，②太难了对你来说）
如 Bn=0，恒为0，则|Bn|<1显然有界，且n→∞时Bn=0，显然收敛。
所以数列有界不一定收敛。
2.
记函数 g(x)=f(x)-f(-x)
又f(x)定义域为(-∞,+∞)
所以g(x)的定义域也可设为(-∞,+∞)
∵g(-x)=f(-x)-f(-(-x))=f(-x)-f(x)=-g(x)
所以g(x)是奇函数，则其图像关于原点(0,0)点对称，又因为x=0在g(x)定义域内，所以g(x)必过原点。
3.
所以函数y=x+4/x在 (-2,0)和(0,2)区间上分别单调递减。
