数形结合的典型例题

发布网友发布时间：2022-05-23 18:35

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热心网友时间：2023-11-07 15:03

考点一利用函数图像例1、若方程lg（－x ＋3x－m）＝lg（3－x）在x∈（0，3）内有唯一解，求实数m的取值范围。【解】原方程变形为即：设曲线y ＝（x－2），x∈（0，3）和直线y ＝1－m，图像如图所示。由图可知：① 当1－m＝0时，有唯一解，m＝1；②当1≤1－m＜4时，有唯一解，即－3＜m≤0，∴ m＝1或－3＜m≤0 例2、已知在△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝3，AC＝4，P是AB上的点。则点P到AC、BC的距离乘积的最大值是【解】建立如图所示的直角坐标系，则线段AB所在的直线方程为即，设即。考点二利用直线的斜率例3、若，比较的大小关系。【解】所给条件式符合函数的形式，联想到直线的斜率，构造动点画出的图像立即得答案。例4、求的值域。【解】所给条件式符合的形式，构造动点，则P点在曲线上运动，则问题转化为求过点P和定点Q（－1，－2）的直线的斜率，可解得，即为所求值域。考点三利用点点距离、点线距离或线线距离例5、函数f（x）= （）的值域是（A）[－ ] （B）[－1，0]（C）[－ ] （D）[－ ]【解】所给条件式符合，可视为点P（－1，0）到直线的距离（取其负值），也可视为直线和直线的距离（取其负值）。法一：在坐标系tOm中画出的图像，这是一条绕原点旋转的直线，由图像可知：选B。法二：在坐标系tOm中画出和直线的图像，分别是一条绕原点旋转的直线和绕（1，0）点旋转的直线，由图像可知：选B。例6、求的最小值。【解】问题所求即为数轴上到点1和－2的距离之和的最小值，易知结果为3。考点四利用函数性质例7、设a∈R，f（x）＝ax2＋x－a（－1≤x≤1），若 ≤1，求函数f（x）的值域。【解】将f（x）视为a的一次函数，即令g（a）＝（x2－1）a＋x，则问题转化为求函数g（a）在[－1，1]上的值域的问题，因为g（a）在[－1，1]上为减函数，故g（a）max=g（－1）=1－x2+x，g（a）min=g（1）=x2+x－1，在－1≤x≤1时，分别求出1－x2+x ，x2+x－1 ，从而可知所求的函数f（x）的值域为[－ ]。【模拟试题】（答题时间：45分钟）一、选择题1、方程的解所在区间是A.（0，1） B.（1，2） C.（2，3） D.（3，4）2、圆的圆心到直线的距离是 A. B. C. 1 D.3、已知f（x）=（x–a）（x–b）–2（其中a＜b，且α、β是方程f（x）=0的两根（α＜β ，则实数a、b、α、β的大小关系为A.α＜a＜b＜β B.α＜a＜β＜bC. a＜α＜b＜β D. a＜α＜β＜b4、设函数是上的奇函数，，当时， .则A. 0.5 B. －0.5 C. 1.5 D. －1.55、已知，则方程的实根个数为（）A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 1个或2个或3个6、如果实数x,y满足，则的最大值为（）A. B. C. D.7、设函数f（ｘ）＝若f（）>1，则的取值范围是（　　　）A. （－1，1） B. （－1，＋∞ ）C. （－�0�6，－2）�0�6（0，+�0�6） D. （－�0�6，－1）�0�6（1，+�0�6）二、填空题8、设集合M＝{（x，y）|x2＋y2＝1，x∈R，y∈R}，N＝{（x，y）|x2－y＝0，x∈R，y∈R}，则集合M∩N中元素的个数为 9、若－3<<2，则x的取值范围是三、解答题10、解不等式11、若关于x的方程的两根都在－1和3之间，求k的取值范围。12、求函数的最小值13、若对于满足的一切实数x，y，不等式x+y+m≥0恒成立，求实数m的取值范围。
【试题答案】一、选择题题号1234567答案CAABBDD 二、填空题8、29、（－�0�6，－）�0�6（，+�0�6）三、解答题10、令，则不等式的解就是使的图像在的上方的那段对应的横坐标。如下图，不等式的解集为，而可由解得，故不等式的解集为 11、，其图像与x轴交点的横坐标就是方程的解，由的图像可知，要使两根都在－1和3之间，只需同时成立，解得，故 12、的值是动点到两个定点A（0，2）与B（－1，0）的距离之和。由图知（图略），当且仅当P与B重合（即x=－1）时， 13、当x，y满足时，有序实数对（x，y）对应的点是一个圆（如图），要所给不等式恒成立，就是要圆上的所有点都在直线l：x+y+m=0的上方（含直线上）即可。显然，极限位置是相切。设直线l0：x+y+m0=0是位于圆的下方且与圆相切的直线，可求得 l，l0在y轴上的截距是－m，－m0，故－m≤－m0，即m≥m0。。