线性代数二次型用正交变换求标准型

二次型的对称矩阵A = 2 0 0 0 3 2 0 2 3 特征根为：1， 2，5 求出对应的特征向量，经过正交化、法化，得正交变换：[ 0 1 0][ -√2/2 0 √2/2][ √2/2 0 √2/2]标准型：[ 1 0 0 ][ 0 2 0 ][ 0 0 ...

是的，二次型可以通过正交变换化为标准形。首先，二次型可以表示为矩阵形式，即f(x_1, \ldots, x_n) = x^TAxf(x1​,…,xn​)=xTAx，其中AA是一个对称矩阵。根据线性代数的理论，一个对称矩阵一定存在正交矩阵PP，使得P^TAPPTAP是对角矩阵\LambdaΛ，即A = P\Lambda P^TA=P...

二次型经过正交变换化为标准型，等价于将二次型矩阵相似变换为对角型矩阵，由所给的标准型可知二次型矩阵相似变换为对角型的矩阵为diag(6,0,0)。再由相似的矩阵有相等的迹（矩阵的迹就是其主对角线上的元素之和）。而原二次型的矩阵的迹为a+a+a=3a。对角型的矩阵diag(6,0,0)的迹为6+0+...

正交变换法化二次型为标准型技巧如下：1、将二次型表达为矩阵形式f=x^TAx，求出矩阵A。2、求出A的所有特征值λ₁，λ₂，...，λn。3、求出对应于特征值的特征向量a₁，a₂，...，an。4、将特征向量正交化、单位化，得b₁，b₂，...，bn，记C=(...

二次型经正交变换得到的标准型不唯一。原因如下：1、从求出正交矩阵P的过程即可得知：对特征值a,(A-aE)X=0 的基础解系不唯一，正交化后自然也不唯一，所以构成正交矩阵P也不是唯一的。2、正交变换的正交矩阵本身各列都可以调换顺序，当然相应的特征值对应调换顺序，导致系数的位置不一致，因此不唯一...

2、在二次型化为标准形的题目里，如果要求求正交变换，则求得的二次型矩阵A的特征向量要先正交化（如果A有重特征值），再单位化，然后才可以写出正交变换的。一个矩阵A的特征值可以通过求解方程pA(λ) = 0来得到。 若A是一个n×n矩阵，则pA为n次多项式，因而A最多有n个特征值。反过来，代数...

正交变换法步骤：1、将二次型表达为矩阵形式f=x^TAx，求出矩阵A。2、求出A的所有特征值λ1,λ2,...,λn。3、求出对应于特征值的特征向量a1,a2,...,an。4、将特征向量正交化、单位化，得b1,b2,...,bn，记C=(b1,b2,...,bn)。5、作正交变换x=Cy，则得f的标准型f=k1y1+k2y2+...

正交变换化二次型为标准型中的“单位化”是Schmidt正交化的最后一个步骤，就是将该向量作为分子，该向量的模（常数）作为分母写出来即可。例如对x^2+y^2，恒等变化是正交变换且符合化为标准型的条件。（x，y）-->（-x，y）也是正交变换，也符合化为标准型的条件。

令C=（β1，β2，β3）。C即为正交变换矩阵。A的最大特征值为λ2=√3。存在正交变换x=Cy，可化f为标准型。f=XTAX===λ1y1²+λ2y2²+λ3y3²≤ λ2（y1²+y2²+y3²）因正交变换不改变向量长度，故当XTX=x1²+x2²+x3²=2时...

用普通方法做即可，答案如图所示