证明:RT三角形ABC中,角C=90度,则内切圆半径R=1/2(a+b-c)

发布网友发布时间：2022-05-18 16:53

共3个回答

热心网友时间：2023-10-20 07:18

设圆心为O。画出图来后可以看出：
1）
S△AOC+S△COB+S△BOC=S△ABC
0.5r*b+0.5r*c+0.5r*c=0.5b*c
r(a+b+c)=a*b
所以r=a*b（a+b+c)
2）设圆与AC、BC、AB的切点为D、E、F
在△AOD与△AFO中都为直角△，有公共边AO、一个直角边都为r,所以另外两个直角边AD、AF用勾股定理可证明：AD=AF
同理BE=BF
∵AD+r=AC=b
∴AD=b-r
∵BE+r=BC=a
∴BE=a-r
BF+FA=AB=c=AD+BE=b+a-2r
∴2r=a+b-c
∴r=1/2(a+b-c）

热心网友时间：2023-10-20 07:19

画图即可简单看出，过直角三角形内切圆圆心O做a、b、c垂线分别交于X、Y、Z，这三条线段也是内切圆的半径。
再连接AO、BO、CO
可以简单得证△AYO≌AZO、△CYO≌XCO、△BXO≌BZO
一目了然
OX=(a-c的一部分

OY=(b-c的另一部分)

R=(OX+OY)/2=1/2(a+b-c)

热心网友时间：2023-10-20 07:19

面积法，S=(a+b+c)R/2=ab/2
R=ab/(a+b+c)
下面证明ab/(a+b+c)=1/2(a+b-c)
即2ab=(a+b+c)(a+b-c)=(a+b)^2-c^2
即a^2+b^2-c^2=0成立。
故R=1/2（a+b-c)成立。