世界著名的数学难题中有没有有关尺规作图的?
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发布时间：2022-05-18 07:42
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热心网友
时间：2023-10-11 13:42
如何用尺规做出正17边形
这个课题由高斯解决了
至于怎么做的我找了篇文
有兴趣可以看一下
图在这里
http://tkfiles.storage.msn.com/x1pjzF2-RYhxRXHD3vxgsLh5W27YMmvDhucyRSUsil8Nn3Sci_4k9YDrzk-dEwtdNT_vHFVXY6vHvyNfMGttpDutg5hcnQ1qwJrAUWQ2gMMOYnBf1GMQpQAfQ
高斯的正17边形
1796年的一天，德国哥廷根大学，一个很有数学天赋的19岁青年吃完晚饭，开始做导师单独布置给他的每天例行的三道数学题。
前两道题在两个小时内就顺利完成了。第三道题写在另一张小纸条上：要求只用圆规和一把没有刻度的直尺，画出一个正17边形。
他感到非常吃力。时间一分一秒地过去了，第三道题竟毫无进展。这位青年绞尽脑汁，但他发现，自己学过的所有数学知识似乎对解开这道题都没有任何帮助。
困难反而激起了他的斗志：我一定要把它做出来！他拿起圆规和直尺，他一边思索一边在纸上画着，尝试着用一些超常规的思路去寻求答案。
当窗口露出曙光时，青年长舒了一口气，他终于完成了这道难题。见到导师时，青年有些内疚和自责。他对导师说：“您给我布置的第三道题，我竟然做了整整一个通宵，我辜负了您对我的栽培……”
导师接过学生的作业一看，当即惊呆了。他用颤抖的声音对青年说：“这是你自己做出来的吗？”青年有些疑惑地看着导师，回答道：“是我做的。但是，我花了整整一个通宵。”
导师请他坐下，取出圆规和直尺，在书桌上铺开纸，让他当着自己的面再做出一个正17边形。
青年很快做出了一个正17边形。导师激动地对他说：“你知不知道？你解开了一桩有两千多年历史的数学悬案！阿基米德没有解决，牛顿也没有解决，你竟然一个晚上就解出来了。你是一个真正的天才！”
原来，导师也一直想解开这道难题。那天，他是因为失误，才将写有这道题目的纸条交给了学生。
每当这位青年回忆起这一幕时，总是说：“如果有人告诉我，这是一道有两千多年历史的数学难道，我可能永远也没有信心将它解出来。”
这位青年就是数学王子高斯。
启示:
有些事情，在不清楚它到底有多难时，我们往往能够做得更好！由此看来，真正的困难并不是困难本身，而是我们对困难的畏惧。
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正17边形的高斯做法
做正17边形
等于求方程x^17-1=0的根即(x-1)(x^16+x^15+.....+x+1)=f(x)(x-1)=0的根
注意f(x)=0有16个根e1～e16,令其中的单位原根为e1并令ei=e^i
根据韦达定理，16个根的和为x^15项的系数乘-1
第一步,把16个根分成两组∑1和∑2
∑1=(e1+e2+e4+e8)+(e1+e2+e4+e8)
∑2=(e3+e5+e6+e7)+(e3+e5+e6+e7)
(这里用下划线表示共扼根)
注意∑1+∑2=-1（韦达定理）
而∑1*∑2=-4（有兴趣的朋友可以验算一下）
于是根据韦达定理，∑1和∑2分别是方程x^2+x-4=0的根,可解出;
第二步,把∑1分成两组,
∑11=(e1+e8)+(e1+e8)
∑12=(e2+e4)+(e2+e4)
注意∑11+∑12=∑1
而∑11*∑12=∑2（有兴趣的朋友可以验算一下）
因为∑1和∑2在前面已经解出
所以∑11、∑12可以从方程x^2-(∑1)x+(∑2)=0解出(韦达定理)
下面的步骤相似,可继续把∑11分解为∑111=e1+e1 和∑112=e8+e8
∑111+∑112=∑11
∑111*∑112=∑12
同样可用韦达定理解出;
最后就简单了
∑111=e1+e1 而e1*e1 =1
所以就可利用韦达定理解出e1来了！
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将你要画的正17边形的边长为d，它的外接圆的半径为R。
则d和R的关系是Sin(360度/(17*2))=d/(2R)
正17边形的边对应的圆心角度数为360/17,正17边形的一条边和其两个端点与圆心连接的半径成为一个等边三角形；
然后从圆心作出一条垂线到边上，就能得出一个直角三角形，圆心的那个角是圆心角的一半，即360度/(17*2)，对边是d/2,斜边是R，所以得出Sin(360度/(17*2))=d/(2R)
最后，根据该公式，如果你想画出一个边长为1厘米的正17边形，则把d=1代入公式，得出R的值。
1、先画一个R半径的圆；
2、用圆规支脚支在圆周的一个点上，取d为半径，交圆周于一点，然后把这两点连起来，就是17边形的一条边了；
3、如此类推，把17条边画完就是一个正17边形了
参考资料：http://www.kepu.gov.cn/bbs/dispbbs.asp?BoardID=2&id=57
热心网友
时间：2023-10-11 13:42
