多边形的内角和与外角和视频教程
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发布时间：2022-05-16 21:46
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时间：2023-09-12 08:53
1．了解多边形、正多边形及多边形的内角、外角、对角线等概念．
2．理解并掌握多边形的内角和、外角和公式，并能运用于解决计算问题．
3．初步学会添辅助线，把多边形转化成三角形来研究的方法．
4．运用列方程（组）的方法解决多边形的应用问题．
5．体验探索、归纳过程，学会合情推理的数学思想方法．
【主体知识归纳】
1．一般地，由n条不在同一直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形称为n边形，又称为多边形．
2．如果多边形的各边都相等，各内角也都相等，则称这个多边形为正多边形．
4．n边形的内角和为（n－2）·180°．
5．任意多边形的外角和为360°．
【基础知识精讲】
1．积极参与小组学习，充分与小伙伴们交流与合作．
2．本节是三角形有关知识的拓展，学习时应注意与三角形的有关知识加以类比．学会把多边形的问题转化为我们熟悉的三角形的问题．
3．注意用不同方法探索多边形的内角和公式，如第54页的探索方法、第55页的“试一试”、第56页习题第2题等．
4．通过用计算器计算去探索、归纳多边形的内角和与外角和公式，感受到计算器的功用，增强自觉运用计算器的意识．
5．多边形的外角和恒等于360°，它与边数的多少没有关系，这方面与内角和不同，作为数学常识应牢记．
6．本节的重点是：n边形的内角和概念；
本节的难点是：n边形的内角和公式的灵活运用．
【例题精讲】
例1．已知一个多边形的内角和是1260°，求这个多边形的边数．
解：设这个多边形的边数为n，由多边形内角和定理，得
（n－2）180°＝ 1260°
n－2＝7
n＝9
答：这个多边形的边数是9．
说明：多边形内角和定理（n－2）·180°有两个作用，一个是由边数计算内角和，另一个是如果知道了多边形的内角和，可以利用这个公式解出它的边数．
例2．已知一个多边形的每一个外角都等于72°，求这个多边形的内角和．
分析：若想求出这个多边形的内角和，关键是要先求出这个多边形的边数．
解法一：设这个多边形的边数为n，于是有72n＝360，所以n＝5．
所以这个多边形的内角和等于（n－2）·180°＝（5－2）180°＝540°
解法二：设这个多边形的边数为n，于是有72 n＝360 ＝5
因为多边形的每个外角都等于72°，所以这个多边形的每个内角都等于180°－72°＝108°．故有多边形的内角和等于5×108°＝540°．
说明：本题还有其他方法，如用n （180°－72°）＝（n－2）180°，求得n＝5，不如用72n＝360求n简便，说明我们平时解题时，应注意选取简便方法．
例3．一个多边形除了一个内角外，其余各角的和为2750°．则这一内角是（ ）
A．130° B．140° C．150° D．120°
解：由n边形的内角和定理可知，n边形的内角和必为180°的整数倍，当该内角是130°，其内角和为2750°＋130°＝2880°
2880°恰为180°的整数倍，故选A．
说明：上面是利用验证法解出的．数学选择题的几个被选答案中，都只有一个答案正确的，上面解法的正确性，也与数学选择题的这一特点有关，不然的话，就还需对该内角取其他几个值的情况逐一进行考虑．
如果例3不是一道选择题，则解法是：设多边形的边数为n，去掉的一个内角为x°
因为x的值大于0°而小于180°，n的值又为正整数，因此x只有等于130°，此时n的值是18．
例4．证明任何一个多边形的内角中，锐角的个数不能大于3．
证明：假设一个多边形的内角中有四个或者更多个是锐角，那么与这些锐角相邻的外角就有四个或更多个钝角，它们的和大于360°．这些多边形的外角和就会更大于360°．这与多边形的外角和等于360°相矛盾，所以多边形的内角中，锐角的个数不能大于3．
例5．已知一个多边形的每个内角都相等，且内角的度数等于和它相邻的外角的度数的3倍，求这个多边形的边数．
解法一：设多边形的边数为n，
因为多边形的每个内角都相等，所以它的每个外角也相等．
解这个方程，得n＝8，故这个多边形的边数是8．
解法二：设多边形的边数为n．
因为多边形的每个内角的度数都等于和它相邻的外角的度数的3倍，于是这个多边形的内角和是外角和的3倍，可得方程（n－2）·180°＝360°× 3．
解这个方程，得n＝8，
所以这个多边形的边数为8．
解法三：设多边形的每一个外角都为x度，则它的每一个内角都为3x度．
根据题意，得x＋3x＝180，
所以这个多边形共有8个外角，即这个多边形的边数为8．
说明：有关多边形内角和及边数的计算问题，通常设边数为n，然后根据多边形内角和公式，列方程求解．本例的解法一是根据多边形的每个内角与它相邻的外角之间的数量关系列方程求解，而解法二是以多边形的内角和与外角和的整体关系来列方程求解，两种解法属于同一种思路．解法三是根据多边形的内角与它相邻的外角之间是邻补角关系，列方程求出外角的度数，再转化为求多边形的边数．这几种解法各有特点，第三种解法最易入手，第一、第二种解法要先判断出该多边形的每个外角都相等，才能列出方程．在解题时，要根据给出条件的特点，灵活选用恰当的解法，达到简化解题的目的．
例6．某多边形所有内角的和与某一个外角的差是1710°，则这个多边形的边数为_______，这个外角的度数为_______．
分析：由多边形内角和公式可知，多边形的内角和一定是180°的整数倍，又每一个外角都小于180°，所以把1710°除以180°所得的商加上（2＋1）即为这个多边形的边数，而所得的余数再表示为（180°－α）的形式，即可求得这个外角的度数．
解：设此多边形的边数为n，由1710°＝9×180°＋90°＝10×180°－ 90°，
可得n－2＝10，n＝12，所以四边形的边数为12，90°为所求的这个外角的度数．
看看文字就够了
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时间：2023-09-12 08:54
