高中数学数列特征根和不动点法解通项公式的原理是什么,说的简单点
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发布时间：2022-05-20 08:48
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懂视网
时间：2022-08-21 03:50
1、不动点法求数列通项原理是不动点是使f(x)=x的x值,设不动点为x0,则f(x0)-x0=0,即x是f(x)-x0=0的根,所以f(x)-x0因式分解时有x-x0这个因子,对数列有a(n+1)=f（an）,两边同时减去不动点x0有a(n+1)-x0=f（an）-x0,f（an）-x0只不过是把x换成了an,所以f（an）-x0有an-x0这个因子,所以a(n+1)-x0=（an-x0）*g（an）,减去不动点后两边出现了形式相同的项an-x0,g（an）则相当于公比。
2、不动点法(fixed point method)是解方程的一种一般方法，对研究方程解的存在性、唯一性和具体计算有重要的理论与实用价值。
热心网友
时间：2024-05-31 16:25
对于形如a(n+2)=p*a(n+1)+q*a(n)的式子，总是存在 r、s 使 a(n+2)-r*a(n+1)=s[a(n+1)-r*a(n)] ，化简得 a(n+2)=(s+r)*a(n+1)-sr*a(n) ，即s+r=p，sr=-q，由韦达定理可知，r、s 就是一元二次方程 x^2-px-q=0 的两根，也就是特征根。
不动点法解通项公式的原理是极限思想：
对于形如a(n+1)=Aan+B的式子，
当n很大时，an其实很接近a(n+1) ，二者近似相等了，即an=a(n+1)，于是（an，a(n+1)）构成不动点。于是原始转化为x=Ax+B，解得x=B/(1-A),于是又x-B/(1-A)=A(x-B/(1-A)),
即a(n+1)-B/(1-A)=A(an-B/(1-A)),于是数列an就是以A为公比的，是首项a1-B/(1-A)的数列，于是就可以求出通项公式了。
楼主，原创思想啊，望采纳！！
热心网友
时间：2024-05-31 16:26
若方程有两相异根 A、B，则 a(n)=c*A^n+d*B^n (c、d可由初始条件确定，下同)
若方程有两等根 A=B，则 a(n)=(c+nd)*A^n
以上部分内容的证明过程：
设 r、s 使 a(n+2)-r*a(n+1)=s[a(n+1)-r*a(n)]
所以 a(n+2)=(s+r)*a(n+1)-sr*a(n)
即，s+r=p，sr=-q，由韦达定理可知，r、s 就是一元二次方程 x^2-px-q=0 的两根，也就是刚才说的特征根。
然后进一步证明那个通项公式：
如果r=s，那么数列{a(n+1)-r*a(n)} 是以 a(2)-r*a(1) 为首项、r 为公比的等比数列，根据等比数列的性质可知：a(n+1)-r*a(n) = [a(2)-r*a(1)]*r^(n-1)，
两边同时除以r^(n+1)，得到 a(n+1)/r^(n+1)-a(n)/r^n = a(2)/r^2-a(1)/r
等号右边的是个常数，说明数列{a(n)/r^n} 是个等差数列。显然等号右边那个就是公差，首项也比较明显，这里不重复了。根据等差数列性质：a(n)/r^n = a(1)/r + (n-1)*[a(2)/r^2-a(1)/r]
整理一下，并设 a(2)/r^2-a(1)/r = d ，再设 2a(1)/r-a(2)/r^2 = c ，然后把那个 r 用 A 来代，就可以得到 a(n)=(c+nd)*A^n 了。
不动点法：
递推式：
a(n+1)=(A*an+B)/(C*an+D)
（n∈N*，A,B,C,D为常数，C不为0，AD-BC不为0，a1与a2不等）
其特征方程为x=(A*x+B)/(C*x+D)
特征方程的根称为该数列的不动点
这类递推式可转化为等差数列或等比数列
1）若x=(A*x+B)/(C*x+B)有两个不等的根α、β，则有：
(a(n+1)-α)/(a(n+1)-β)=k*((an-α)/(an-β))
其中k=(A-α*C)/(A-β*C)
x=(A*x+B)/(C*x+D)
C*x^2+(D-A)*x-B=0
α不等于β
(D-A)^2+4*B*C不等于0
C*α^2+(D-A)*α-B=0
C*α^2-A*α=B-α*D
a(n+1)-α=(A*an+B-C*α*an-α*D)/(C*an+D)=(A*an-C*α*an+C*α^2-A*α)/(C*an+D)=(A-C*α)*(an-α)/(C*an+D)
a(n+1)-β=(A*an+B-C*β*an-β*D)/(C*an+D)=(A*an-C*β*an+C*β^2-A*β)/(C*an+D)=(A-C*β)*(an-β)/(C*an+D)
(a(n+1)-α)/(a(n+1)-β)=(A-α*C)/(A-β*C)*((an-α)/(an-β))
由
(an-α)/(an-β)=((A-α*C)/(A-β*C))^(n-1)*((a1-α)/(a1-β))
得
an=(β*(((A-α*C)/(A-β*C))^(n-1))*((a1-α)/(a1-β))-α)/(((((A-α*C)/(A-β*C))^(n-1))*((a1-α)/(a1-β))-1)
=(β*(a1-α)*(A-α*C)^(n-1)-α*(a1-β)*(A-β*C)^(n-1))/((a1-α)*(A-α*C)^(n-1)-(a1-β)*(A-β*C)^(n-1))
2）若x=(A*x+B)/(C*x+B)有重根α，则有
1/(a(n+1)-α)=1/(an-α)+k
其中k=(2*C)/(A+D)
x=(A*x+B)/(C*x+D)
C*x^2+(D-A)*x-B=0
C*α^2+(D-A)*α-B=0
α=(A-D)/(2*C)
a(n+1)-α=(A-C*α)*(an-α)/(C*an+D)
1/(a(n+1)-α)=((C*an+D)/(A-C*α))*(1/(an-α))
=1/(an-α)+(C*an+D-A+((A-D)/(2*C))*C)/((A-(A-D)/(2*C)*C)*(an-(A-D)/(2*C)))=1/(an-α)+(C*an+C*(D-A)/(2*C))/(((A+D)/2)*(an+(D-A)/(2*C)))
=1/(an-α)+(2*C)/(A+D)
由
1/(an-α)=(2*C*(n-1))/(A+D)+1/(a1-α)
an=1/((2*C*(n-1))/(A+D)+1/(a1-α))+α
注:并非本人总结，仅供参考。
热心网友
时间：2024-05-31 16:26
