求证二阶线性非齐次微分方程存在三个线性无关解

发布网友发布时间：2022-05-17 17:15

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热心网友时间：2023-08-18 22:58

证明：设二阶线性非齐次微分方程的通解为：
y=C1y1(x)+C2y2(x)+y*，这里y1(x)和y2(x)是齐次微分方程的两个线性无关解，
y*是非齐次微分方程的一个解。
显然，y1(x)+y*，y2(x)+y*，y*是非齐次微分方程存在三个解
现在证明y1(x)+y*，y2(x)+y*，y*线性无关
设有K1K2K3使：
K1(y1(x)+y*)+K2(y2(x)+y*)+K3y*=0，即K1y1(x)+K2y2(x)+(K1+K2+K3)Y*=0
如果K1+K2+K3不为0，那么0=K1y1(x)/(K1+K2+K3)+K2y2(x)/(K1+K2+K3)+Y*
上式说明0是非齐次微分方程的解，矛盾。说K1+K2+K3=0，从而K1y1(x)+K2y2(x)=0，但y1(x)和y2(x)线性无关，故K1=K2=0，故K3=0，所以：y1(x)+y*，y2(x)+y*，y*线性无关。

热心网友时间：2023-08-18 22:59

从三个解可以看出(始终不变的是sinx)
方程的通解为
y=c1·e^x+c2·e^(2x)+sinx
由此可知，
特征方程有两个根为
r1=1，r2=2
所以，特征方程为
r²-3r+2=0
所以，对应齐次方程为
y''-3y'+2y=0
设原方程为
y''-3y'+2y=f(x)
特解
y*=sinx
满足此方程，
把特解代入可得
f(x)=sinx-3cosx
所以，原方程为
y''-3y'+2y=sinx-3cosx