层次分析法的基本步骤
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发布时间：2022-04-22 00:20
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时间：2024-07-20 18:21
构造判断矩阵
层次分析法的一个重要特点就是用两两重要性程度之比的形式表示出两个方案的相应重要性程度等级。如对某一准则，对其下的各方案进行两两对比，并按其重要性程度评定等级。记为第
和第
因素的重要性之比，表3列出Saaty给出的9个重要性等级及其赋值。按两两比较结果构成的矩阵
称作判断矩阵。判断矩阵
具有如下性质：
且
/
(
=1,2,…
)
即
为正互反矩阵
表3比例标度表
因素
比因素
量化值
同等重要
1
稍微重要
3
较强重要
5
强烈重要
7
极端重要
9
两相邻判断的中间值
2，4，6，8
计算权重向量
为了从判断矩阵中提炼出有用信息，达到对事物的规律性的认识，为决策提供出科学依据，就需要计算判断矩阵的权重向量。
定义：判断矩阵
，如对
…
，成立
，则称
满足一致性，并称
为一致性矩阵。
一致性矩阵A具有下列简单性质:
1、
存在唯一的非零特征值
,其对应的特征向量归一化后
记为
，叫做权重向量，且
；
2、
的列向量之和经规范化后的向量，就是权重向量；
3、
的任一列向量经规范化后的向量，就是权重向量；
4、对
的全部列向量求每一分量的几何平均，再规范化后的向量，就是权重向量。
因此，对于构造出的判断矩阵，就可以求出最大特征值所对应的特征向量，然后归一化后作为权值。根据上述定理中的性质2和性质4即得到判断矩阵满足一致性的条件下求取权值的方法，分别称为和法和根法。而当判断矩阵不满足一致性时，用和法和根法计算权重向量则很不精确。
一致性检验
当判断矩阵的阶数
时，通常难于构造出满足一致性的矩阵来。但判断矩阵偏离一致性条件又应有一个度，为此，必须对判断矩阵是否可接受进行鉴别，这就是一致性检验的内涵。
定理:设
是正互反矩阵
的最大特征值则必有
,其中等式当且仅当
为一致性矩阵时成立。
应用上面的定理，则可以根据
是否成立来检验矩阵的一致性，如果
比
大得越多，则
的非一致性程度就越严重。因此，定义一致性指标
（1）
CI越小，说明一致性越大。考虑到一致性的偏离可能是由于随机原因造成的，因此在检验判断矩阵是否具有满意的一致性时，还需将CI和平均随机一致性指标RI进行比较，得出检验系数CR，即
（2）
如果CR<0.1
，则认为该判断矩阵通过一致性检验，否则就不具有满意一致性。
其中，随机一致性指标RI和判断矩阵的阶数有关，一般情况下，矩阵阶数越大，则出现一致性随机偏离的可能性也越大，其对应关系如表4:
表4
平均随机一致性指标RI标准值(不同的标准不同，RI的值也会有微小的差异)
矩阵阶数
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
RI
0
0
0.58
0.90
1.12
1.24
1.32
1.41
1.45
1.49
可见，AHP方法不仅原理简单，而且具有扎实的理论基础，是定量与定性方法相结合的优秀的决策方法，特别是定性因素起主导作用的决策问题。
