对于整数x要求-32

发布网友发布时间：2022-05-18 21:16

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热心网友时间：2023-11-04 17:01

若n>11，则11整除φ（n），但11不能整除22n-32．
因此，n>11不符合要求．故，n≤11．
若7<n≤11，则φ（n）=2×3×5×7=210，
由210=22n-32，
得n=11．
若5<6≤7，则φ（n）=2×3×5=30，由30=22n-32，得正整数n不存在．
若3<n≤5，则φ（n）=2×3=6，由6=22n-32，得正整数n不存在．
若n=3，则φ（n）=2，由2=22n-32，得正整数n不存在．
∴满足条件的正整数n只有1个，n=11．

解法二：由φ（n）=22n-32，得φ（n）-1024=22（n-48）．
由于φ（n）是偶数，但不是4的倍数，因此，n-48是奇数．
若n-48≥3，则n-48含有奇数的素数因子p，即p为奇素数，且p整除n-48．
由n-48<n知，p整除φ（n）．由此p整除1024，矛盾．
故，n-48<3，即n≤49，且n为奇数．
∵n≤49时，22n-32≤22×49-32=1046，
∴φ（n）≤1046．
又2×3×5×7=210，2×3×5×7×11=210×11>1046．
∴n≤11．即n=3，5，7，9，11．
将n=3，5，7，9，11分别代入φ（n）=22n-32验证，
n=3时，φ（3）=2，22n-32=34，不符合要求．
n=5时，φ（5）=2×3=6，22n-32=78，不符合要求．
n=7时，φ（7）=2×3×5=30，22n-32=122，不符合要求．
n=9时，φ（9）=2×3×5×7=210，22n-32=166，不符合要求．
n=11时，φ（11）=2×3×5×7=210，22n-32=210，符合要求．
∴满足条件的正整数n只有1个，n=11．