数学里〈三线合一〉是什么意思
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发布时间：2022-04-22 01:40
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时间：2023-10-05 22:28
等腰三角形底边上的高、底边上的中线、顶角平分线相互重合。叫等腰三角形三线合一。
前提：在三角形中！只要有两条线重合，那这个三角形一定是等腰三角形。
编辑本段
证明
已知：△ABC为等腰三角形，AD为中线。求证：AD垂直平分BC，BD=DC
等腰三角形ABC(AB=AC).
∵△ABC为等腰三角形
(已知）
∴AB=AC(等腰三角形的性质)
∴∠B=∠C（等边对等角）
∵AD为中线（已知）
∴BD=DC（等腰三角形中线为垂直平分线）
∵AD为公共边
∴△ADB≌△ADC（S.A.S)
可得∠BAD=∠CAD，∠ADB=∠ADC(全等三角形对应角相等）
∵∠ADB+∠ADC=∠BDC（已证），且∠BDC=180度（平角定义）
∴∠ADB=∠ADC=90°（等量代换）
得证
编辑本段
应用
1.∵AB=AC,BD=DC=1/2BC
∴AD⊥BD,AD平分∠BAC
2.∵AB=AC,AD⊥BD
∴BD=DC=1/2BC,AD平分∠BAC
3.∵AB=AC,AD平分∠BAC
∴AD⊥BD,BD=DC=1/2BC
编辑本段
逆定理
①
如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的中线重合，那么这个三角形是等腰三角形。
②
如果三角形中任一角的角平分线和它所对边的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。
③
如果三角形中任一边的中线和这条边上的高重合，那么这个三角形是等腰三角形。
总而言之：在一个三角形中，一边上的高线与此边上的中线，及此边对角角平分线中任意两线重合可推知此三角形为等腰三角形。
（注意：其中一边上的中线与此边对角角平分线重合推证等腰三角形，可应用正弦定理，或过此边中点作另外两边垂线。）
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时间：2023-10-05 22:28
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