设A、B为同阶非退化阵,满足A^TA=B^TB,试证存在正交阵Q使A=QB

发布网友发布时间：2022-05-21 17:46

共2个回答

热心网友时间：2023-11-04 12:10

注意到A是正交矩阵<=>AA'=A'A=E<=>A^-1=A' (A'是A的转置,记法方便)

证:由已知A,B可逆, 所以 A',B' 可逆
因为 A'A=B'B
所以 A = (A')^-1B'B.
令Q=(A')^-1B', 则有 A=QB.
下证Q是正交矩阵.
注意到 (A')^-1 = (A^-1)', 所以有
QQ'=[(A')^-1B'][(A')^-1B']'
=[(A')^-1B']B[(A')^-1]'
=(A')^-1B'BA^-1
=(A')^-1A'AA^-1
=(A^-1)'A'E
=(AA^-1)'
=E
故Q为正交矩阵.
命题得证.
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热心网友时间：2023-11-04 12:10

拿好笔和纸，写下来再看比较容易看。
A,B非退化，所以A^T、B^T、A^TA、B^TB均为非退化。且(A^-1)^T=(A^T)^-1、(B^-1)^T=(B^T)^-1
因为A^TA=B^TB,
(A^T)^-1A^TA=IA=A=(A^T）^-1B^TB=(A^-1)^TB^TB
即A=[(A^-1)^TB^T]B
问题就是求证Q=(A^-1)^TB^T为正交阵。
因为(A^-1)^TB^T [(A^-1)^TB^T]^T=(A^-1)^TB^TB(A^-1)=(A^-1)^TA^TA(A^-1)=I I=I
[(A^-1)^TB^T]^T (A^-1)^TB^T=B(A^-1)(A^-1)^TB^T 记为@
因为(A^TA)^-1=A^-1(A^T)^-1=(B^TB)^-1=B^-1(B^T)^-1
即A^-1(A^T)^-1=B^-1(B^T)^-1
所以@=BB^-1(B^T)^-1B^T=I I=I
因此(A^-1)^TB^T [(A^-1)^TB^T]^T=[(A^-1)^TB^T]^T (A^-1)^TB^T=I
所以(A^-1)^TB^T为正交阵，所以存在正交阵Q=(A^-1)^TB^T使A=QB