勾股定理的发展史!急需!!
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发布时间：2022-04-27 02:30
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时间：2022-06-24 20:21
边的平方。如图所示，我们
用勾（a）和股（b）分别表示直角三角形得到两条直角边，用弦（c）来表示斜边，则可得：勾2+股2=弦2
亦即：a2+b2=c2.这是几何学中最重要的一条定理，用途很广。 据我国古代数学名著《九章算术》记载，勾股定理是在几千多年前，由周朝的商高发现的，后来汉朝的赵爽对此作过注释。
因此，在我国，勾股定理又称“商高定理”。在西方国家，勾股定理叫作“毕达哥拉定理”，但毕达哥拉|发现这个定理的时间却远比我国的商高为
迟。
中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头，记载着一段周公向商高请教数学知识的对话：
周公问：“我听说您对数学非常精通，我想请教一下：天没有梯子可以上去，地也没法用尺子去一段一段丈量，那么怎样才能得到关于天地得到数据呢？”
商高回答说：“数的产生来源于对方和圆这些形体的认识。其中有一条原理：当直角三角形‘矩’得到的一条直角边‘勾’等于3，另一条直角边‘股’等于4的时候，那么它的斜边‘弦’就必定是5。这个原理是大禹在治水的时候就总结出来的呵。”
从上面所引的这段对话中，我们可以清楚地看到，我国古代的人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理这一重要懂得数学原理了。[back]
趣话勾股定理
1955年希腊发行了一张邮票，图案是由三个棋盘排列而成。这张邮票是纪念二千五百年前希腊的一个学派和宗教团体 —— 毕达哥拉斯学派，它的成立以及在文化上的贡献。邮票上的图案是对数学上一个非常重要定理的说明。它是初等几何中最精彩的，也是最著名和最有用的定理。在我国，人们称它为勾股定理或商高定理；在欧洲，人们称它为毕达哥拉斯定理。
勾股定理断言：直角三角形的斜边的平方等于其它二边的平方的和。如果我们要找一个定理，它的出现称得上是数学发展史上的里程碑，那么勾股定理称得上是最佳选择。但是，如果人们要考究这个定理的起源，则常常会感到迷惑。因为在欧洲，人们都把这个定理的证明归功于毕达哥拉斯；但通过二十世纪对在美索不达米亚出土的楔形文字泥版书进行的研究，人们发现早在毕达哥拉斯以前一千多年，古代巴比伦人就已经知道这个定理。在我国西汉或更早时期的天文历算著作《周髀算经》中，第一章记述了西周开国时期（约公元前1000年）商高和周公姬旦的问答。周公问商高：“天不可阶而升，地不可将尽寸而度。”天的高度和地面的一些测量的数字是怎么样得到的呢？商高回答：“故折矩以为勾广三，股修四，径隅五。”即我们常说的勾三、股四、弦五。《周髀算经》里还这样记载：周髀长八尺，夏至之日晷一尺六寸。髀者，股也，正晷者，勾也。正南千里，勾一尺五寸，正北千里，勾一尺七寸。日益表南，晷日益长。候勾六尺，即取竹，空经一寸，长八尺，捕影而观之，室正掩日，而日应空之孔。由此观之，率八十寸而得径寸，故此勾为首，以髀为股，从髀至日下六万里而髀无影，从此以上至日，则八万里。
这段文字描述了中国古代人民如何利用勾股定理在科学上进行实践。钱伟长教授对这段文字作了详细的说明：“……商高，陈子等利用立竿（即周髀）测定日影，再用勾股法推算日高的方法。周髀高八尺，在镐京（今西安附近）一带，夏至日太阳影长一尺六寸，再正南千里，影长一尺五寸。正北千里，影长一尺七寸。祖先天才地用测量日影的办法，推算了夏至日太阳离地的斜高，用同理测定了冬至日的太阳斜高。又取中空竹管，径一寸长八尺，用来观测太阳，我们的祖先发现太阳圆影恰好充满竹管的视线，於是用太阳的斜高和勾股的原则，推算太阳的直径。这些测定的数据虽然非常粗略，和实际相差很远，但在三千年前那样早的年代，有这样天才的创造和实践的观测精神，是我们应该学习的。”由此，中国人把这个定理称为勾股定理或商高定理是完全有道理的。
但是，欧洲人称这个定理为毕达哥拉斯定理，也有他们的说法。因为是毕达哥拉斯本人，至少是毕达哥拉斯学派的某一成员首先给出了对这个定理符合逻辑的证明。虽然，毕达哥拉斯有不少杰出的证明，如利用反证法证明√2不是有理数，但最著名的就是证明勾股定理了。传说当他得到了这个定理时，非常的高兴，杀了一头牛作为牺牲献给天神。也有些历史学家说是一百头牛，这个代价可太大了！
勾股定理是数学上有证明方法最多的定理——有四百多种说明！希腊邮票上所示的证明方法，最初记载在欧几里得的《几何原本》里。
汉朝的数学家赵君卿，在注释《周髀算经》时，附了一个图来证明勾股定理。这个证明是四百多种勾股定理的说明中最简单和最巧妙的。您能想出赵老先生是怎样证明这个定理的吗？（提示：考虑黑边框正方形的面积计算）[back]
辉煌的勾股定理
我们以教材中介绍的勾股定理内容为基础，通过网络更进一步地了解勾股定理的发现、证明和应用，从生动的数学史料中了解到中国古代有着光辉灿烂的文化，在数学领域中形成了辉煌的数学文化，至少有二三十项数学成就，曾处于世界领先地位，如勾股定理。
首先，我国著名的《算经十书》最早的一部《周髀算经》。书中记载有“勾广三，股修四，径隅五。”这作为勾股定理特例的出现，为勾股定理的形成作了准备。《周髀算经》中还有关于勾股定理更精彩的描述：“若求邪至日，以日下为勾，日变为设，勾、股各自乘，并而开方除之，得邪至日。”已涉及到了一般的勾股定理。用式子表示出：弦（邪至日）等于勾平方加股平方的和开平方。可见，我国独立发现了勾股定理。
其次，从勾股定理的证明方法中，有效地受到了爱国主义教育。本章教材一共介绍了三种证法，”让我们开阔眼界，并让我们感受到：我国古代数学家赵爽利用勾股方园图证明勾股定理（P225，12题）是多么巧妙，是多么的简捷，“按弦图，又可以勾股相乘为朱实二，倍之，为朱实四。以勾股之差自乘为中黄实，加差实，变成弦实。”用式子写出来即是：2ab＋（b－a）2＝c2即护＋b2＝c2。融几何知识与代数知识于一体，真可谓“独具匠心”。在我国古代，这是一种多么新奇多么美妙的数学方法啊！如今，世界上还有许许多多的数学难题，等待着我们去攻充，以自己的勤劳与智慧去摘下一颗颗数学明珠。
通过这些生动数字史料的介绍，我们学习热情顿时高涨，都为我们祖国有这样的辉煌成就而感到自豪和骄做！爱国热情油然而生！这不但让我们受到了爱国主义教育，而且使我们从生动的史料中更深入理解了勾股定理。
数学哲学、数学史与数学教学有机结合，已成为当今世界研究的热点问题。
在研究勾股定理上网查资料的过程中，我们还想到了我国古代的祖冲之，求得Л的近似值，精确到小数点后第7位，领先世界一千多年；刘徽首创的割图术，秦九绍创“大衍求一术”，“杨辉三角”等及当今时代的著名数学家：华罗庚、苏步青、陈景润等的巨大成就和他们为国争光的爱国。[back]
中国古代数学家证明勾股定理
中国古代的数学家们不仅很早就发现并应用勾股定理，而且很早就尝试对勾股定理作理论的证明。最早对勾股定理进行证明的，是三国时期吴国的数学家赵爽。赵爽创制了一幅“勾股圆方图”，用形数结合得到方法，给出了勾股定理的详细证明。在这幅“勾股圆方图”中，以弦为边长得到正方形ABDE是由4个相等的直角三角形再加上中间的那个小正方形组成的。每个直角三角形的面积为ab/2；中间懂得小正方形边长为b-a，则面积为（b-a）2。于是便可得如下的式子：
4×（ab/2）+（b-a）2=c2,化简后便可得：
a2+b2=c2,亦即：c=（a2+b2）(1/2)
赵爽的这个证明可谓别具匠心，极富创新意识。他用几何图形的截、割、拼、补来证明代数式之间的恒等关系，既具严密性，又具直观性，为中国古代以形证数、形数统一、代数和几何紧密结合、互不可分的独特风格树立了一个典范。以后的数学家大多继承了这一风格并且代有发展。例如稍后一点的刘徽在证明勾股定理时也是用的以形证数的方法，只是具体图形的分合移补略有不同而已。国古代数学家们对于勾股定理的发现和证明，在世界数学史上具有独特的贡献和地位。尤其是其中体现出来的“形数统一”的思想方法，更具有科学创新的重大意义。
图2 勾股圆方图中事实上，“形数统一”的思想方法正是数学发展的一个极其重要的条件。正如当代中国数学家吴文俊所说：“在中国的传统数学中，数量关系与空间形式往往是形影不离地并肩发展着的......十七世纪笛卡儿解析几何的发明，正是中国这种传统思想与方法在几百年停顿后的重现与继续。”[back]
美国总统巧证勾股定理
学过几何的人都知道勾股定理．它是几何中一个比较重要的定理，应用十分广泛．迄今为止，关于勾股定理的证明方法已有500余种．其中，美国第二十任总统伽菲尔德的证法在数学史上被传为佳话．
总统为什么会想到去证明勾股定理呢？难道他是数学家或数学爱好者？答案是否定的．事情的经过是这样的；
在1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德．他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨．由于好奇心驱使伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么．只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形．于是伽菲尔德便问他们在干什么？只见那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答到：“是5呀．”小男孩又问道：“如果两条直角边分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不加思索地回答到：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方．”小男孩又说道：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心理很不是滋味。
于是伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他留下的难题。他经过反复的思考与演算，终于弄清楚了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。
他是这样分析的，如图所示：
1876年4月1日，伽菲尔德在《新英格兰教育日志》上发表了他对勾股定理的这一证法。
1881年，伽菲尔德就任美国第二十任总统后来，人们为了纪念他对勾股定理直观、简捷、易懂、明了的证明，就把这一证法称为“总统。”证法。
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逆定理的推广
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从勾股定理到费尔马大定理
中国科学院应用数学所 副所长 曹道民
提起歌德*（Goldbach）猜想，很多三十多岁的人都听说过，因为我国的数学家曾对这猜想作出过杰出的贡献，特别是陈景润的结果到现在还是最好的。陈景润的事迹在八十年代曾在全国广泛流传，影响到当时很多的青年人，现在四十岁上下的从事数学研究的人，包括我自己，就是受到影响而走上科学研究之路的。
如果有人问起上世纪数学界中最重要的结果是什么，我相信很多人会说是费尔马（Fermat）大定理。这个悬置长达350多年的、比歌德*猜想更著名的难题在1995年被英国数学家维尔斯(Wiles)彻底解决。1996年3月维尔斯因此荣膺沃尔夫（Wolf）奖。
首先，让我们来介绍费尔马大定理。
学过平面几何的人都知道，设a、b为直角三角形的直角的两条边长，则斜边的边长c跟a、b满足关系式c2 = a2 + b2 。中国人称它为《商高定理》，因为在古代的数学书籍《周髀算经》里记载古代数学家商高谈到这个关系式。更普遍也称为勾股定理，这是因为在《周髀算经》》中记载着“勾三，股四，弦五”，并且清楚地讨论了它们与直角三角形的关系，其后的著作中也有其他的勾股数。如《九章算术》中还有（5，12，13），（7，24，25），（8，15，17）等7组数。在西方，上述公式称为毕达哥拉斯定理，这是因为西方的数学及科学来源于古希腊，古希腊流使下来的最古老的著作是欧几里得的《几何原本》，而其中许多定理再往前追溯，自然就落在毕达哥拉斯的头上，要知道毕达哥拉斯被推崇为“数论的始祖”。
如果勾股定理的公式c2 = a2 + b2中的 a ，b ，c未知数，是第一个不定方程（即未知数的个数多于方程的个数）也是最早得出完整解答的不定方程，它一方面引导到各式各样的不定方程，另一方面也为不定方程的解题程序树立了一个范式。
法国人费尔马（Pierre de Fermat, 1601-1665）虽然学的是法律，从事的也是律师的职业，但他对数学却有浓厚的兴趣，在公余时间常读数学书，并自己从事一些数学研究。他在阅读希腊数学家丢番图（Diophontus）的《算术》一书中论述求解x2 + y2 = z2 的一般解的问题时，在书的空白处，用笔写下这样的心得：“反过来说不可能把一个立方数分拆为两个立方数的和，一个四方数分拆成两个四方数之和。更一般地，任何大于二的方数不能分拆为同样方数的两个之和。我已发现了一个绝妙的证明，但因为空白太小，写不下整个证明”。用数学语言来表达，费尔马的结论是：
当n≥3时, xn + yn = zn 没有正整数解。
人们不相信费尔马找到了这个结论的证明，或者正如成千上万的后来人一样，自以为证明出来而实际上搞错了，因为许多有名的数学家都试图证明它，但都以失败而告终。然而费尔马确实创造了无穷下降方法，证明了n = 4 的情况。n = 3 的情况是瑞士大数学家欧拉（Leonard Euler, 1707- 1783）在1753年给出的。19世纪初实际上只有n = 3，n = 4两种情况得到证明。而n = 5的情况则是在经历了半个多世纪，一直到1823年至1825年才首次完全证明。费尔马大定理对当时的数学家是一个最大的挑战。为了表示学术界对它的重视，1816年法国科学院首次为费尔马大定理设立了大奖。许多大数学家，其中包括当时顶尖的数学家，法国的高斯和法国的柯西都曾热衷于这个问题。
在早期尝试解决费尔马大定理的英雄豪杰里有一位巾帼英雄，她是德国的苏菲·日尔曼（Sophie Germain, 1776-1831）。小时候她是一个很害羞、胆怯的女孩，靠自学阅读和研究数学。由于当时女姓在数学上受到歧视，她就用一个男性化名同一些大数学家通信，其中包括高斯和勒让德，她的才能使得这些一流的数学家大为惊讶。
我们现在回过头来看看勾股定理
a2 + b2 = c2
如果我们在方程两边同除以c2，我们得到
= 1
设= x , = y, 则要找正整数a, b, c 满足a2 + b2 = c2 等价找有理数x, y, 使得（x, y）满足x2 +y2 = 1。 (x, y) 可以看成是平面上单位图上的一个点，x, y都为有理数的点(x, y)称为有理点。这样我们就把由勾股定理得到的方程是否有正整数解化为平面上的单位圆上是否有有理点。同样xn + yn = zn是否有正整数解等价于平面上的曲线xn + yn =1上是否有有理点的问题。我们称由方程xn + yn =1定义的曲线为费尔马曲线。
在中学数学里，我们对平面代数曲线有一些了解，在解析几何里，对二次曲线进行了完整的分类。平面上二次代数曲线有
椭圆：；
双曲线：，或；
抛物线：
代数几何学在解决费尔马大定理起到了非常大的作用。代数几何学是解析几何的自然延续，在解析几何中，我们用坐标方法通过方程来表示曲线和曲面，通常只研究一次、二次曲线，即直线、椭圆、双曲线及抛物线。三次及三次以上的曲线一般就不再仔细研究了。
代数几何与解析几何的一个主要不同点是，解析几何用次数来对曲线和曲面分类，而代数几何学则用一个双有理变换不变量-亏格来对代数曲线进行分类。通过亏格g ，所有代数曲线可分为三大类：
g=0: 直线、椭圆、圆锥曲线；
g=1: 椭圆曲线；
g其他曲线，特别是费尔马曲线。
费尔马曲线的亏格 所以对的费尔马方程，1929年英国数学家莫德尔（Lewis J. Mordell）提出著名的猜想：亏格的代数曲线上的有些点数目只有有限多个。1929年西格尔证明亏格的代数曲线上的整点（即坐标均为整数点）数目只有有限多个。
当然，一般有理数的数目要比整点数目多得多。
1983年，德国数学家法尔廷斯证明了莫德尔猜想。他的证明用到了多位数学家的成果。他的结果被认为是上世纪的一个伟大定理，他因此而获得1986年的菲尔兹（Fields）奖。从莫德尔猜想我们推出：如果xn + yn = zn有非平凡的互素的正整数解，那么解的个数只有有限多个。希斯-布朗利用莫德尔猜想，证明了对于几乎所有的素数，费尔马大定理成立。
由于莫德尔猜想的证明，数学家看出了一系列猜想最终可导致证明费尔马大定理。
1983年，史皮娄（Lucien Szpiro）提出史皮娄猜想，并证明由史皮娄猜想可以推出，对于充分大的指数，费尔马大定理均成立。1985年，与塞尔（D.W.Masser）等人提出一系列等价猜想，其中一个称为abc猜想，由它可推出史皮娄猜想。1987年，史皮娄又提出一系列猜想，由它们也能推出史皮娄猜想。这些猜想似乎更容易下手，但至今一个也没有证明。
1987年，塞尔由伽罗华表示出发提出一些更强的猜想，称为塞尔强（弱）猜想。由它不仅可以推出费尔马大定理，还可推出许多其他猜想，但这条路最终也没有能走通。
1971年，埃莱古阿计（Yres Hellegouarch），最早把椭圆曲线与费尔马大定理联系起来，然而，符莱（Gerhard Frdy）却是第一个把方向扭转到正确轨道上的人。1985年，符莱证明如果费尔马方程（为不少于5的素数）有非零解（即，则可设计一条椭圆曲线其中不妨假定为互素的非零整数，显然它是有理数域上的椭圆曲线。
日本数学家谷山丰（1927—1958）在1955年召开的会议上研究了椭圆曲线的参数化问题。一条曲线的参数化对于曲线表示和研究曲线的性质有很大帮助，这在中学学习解析几何时我们就已经看到了。椭圆曲线是三次曲线，它也可以用一些函数进行参数表示。但是，如果参数表示所用的函数能用模形式，（模函数是上半复平面上处处亚纯函数的一类，模形式是模函数的推广），则我们称之为模曲线。模曲线有很好的性质。我们希望任一椭圆曲线都是模曲线，这就是谷山一志村猜想。此后，数学家把证明费尔马大定理化为证明对某一类椭圆曲线，谷山一志村猜想成立。
英国数学家维尔斯正是沿着这一道路，在经过漫长的7年探索，终于在1993年6月取得突破。最终在一九九五年完全证明费尔马大定理。
作为本文的结束，我想给数学爱好者提出一点自己的建议：数学中有一些看上去很简单的结论，如歌德*猜想、费尔马大定理等要去证明却是非常困难的。许多数学爱好者认为只要有好的“灵感”就能用初等数学的方法或不多的数学工具就能解决世界难题，结果白白花费了许多宝贵的时间。最近经常从报上、网上看到某某解决了某某难题，一些媒体不负责任的报道可能会误导一些数学爱好者。让读者了解费尔马大定理的解决过程，从而希望数学爱好者不要盲目地作世界难题，这正是本文的初衷之一。如果你真的热爱数学，立志于攻克数学难题，那么应该先学习某一专业的基础知识，了解这一问题的国际研究动态，搞清楚前人的工作，然后再开展自己的研究。
（本文的写作参考了胡作玄教授的《从毕达哥拉斯到费尔马》及《350年历程--从费尔马到维尔斯》，在此致谢。由于本人的专业不是数论，很可能在文中会有错误，望读者指正。想进一步了解的读者可以读一读胡作玄教授这两本书。）
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勾股定理的应用
勾股定理是初中数学中重要定理之一.它揭示了一个直角三角形三条边之间的数量关系，它可以解决许多直角三角形中的计算与证明问题，是解决直角三角形问题的主要依据之一，在生产生活实际中用途很大，因而它是初中数学中，应该重视而且必须解决好的一个问题，我们对此要有深刻的认识和广泛的理解.
一、注重初始学习，了解定理发现发展史，激发学习兴趣
在初始学习中，根据教材内容，结合我国数学发展的历史，了解了我国古代在勾股定理研究方面的成就，激发我们热爱祖国悠久文化的思想感情，培养民族自豪感.同时，结合当今世界上许多科学家探寻科学的事例，来激发自己学习数学的兴趣，激励自己奋发图强，努力学习，为将来担负起振兴中华之重任打下坚实基础.
例1 当今世界上许多科学家正在试探寻找其他星球的“人”，为此向宇宙发出了许多信号.如地球上人类的语言、音乐、各种图形等.据说我国著名的数学家华罗庚，曾建议发射一种勾股定理的图形，如果宇宙人是“文明的人”，那么他们一定会认识这种“语言”的，你认为这有可能吗？
二、重视定理结构的剖析，正确理解和应用定理
在勾股定理学习之前，虽然我们已具有直角三角形和命题等一些基础知识，但对勾股定理了解后，不仅要对定理结构加以剖析，使自己正确理解，能准确应用定理或其简单变形去解题就行，而且要向课外引伸.
例2 试将命题“直角三角形两条直角边的平方和等于斜边的平方”改写成“如果……，那么……”的形式.
例3 求边长为a的等边三角形的高.
求
（1）AD的长.
（2）△ABD的面积.
说明 例2旨在使我们明确勾股定理的题设与结论，以便正确应用.
例3 画出图形后，显然直接应用勾股定理即可求解.
例4 需利用勾股定理的简单变形b2=c2-a2去进行计算.
三、适时提高，灵活应用定理
在对勾股定理应用的研究过程中，可选择难度稍大一点的例题，训练自己应用定理的灵活性.
例5 如图2，AD是△ABC的边BC上的高.
求证：AB2+CD2=AC2+BD2
说明 在分析此题时，首先应考虑在图形中，有两个含一条公共边的直角三角形——△ABD和△ACD，而求证的四条线段AB、CD、AC、BD都具有平方形式，且又分别为△ABD和△ACD的斜边和直角边.显然应当想到应用勾股定理，并且要把同一个直角三角形的有关的边集中在一起.因此，可将结论的形式转化为求证AB2-BD2=AC2-CD2，这样就容易看到等式的左、右两边都等于AD2，于是得到证法.
四、注意定理应用后的探索学习，适时赋于定理应用的新方法
在应用定理解证题后，进行深入探究，既有利于培养我们的分析问题和创造性能力，又能使勾股定理应用余音不绝.
例6 在△ABC中，∠C=90°，求证sin2A+sin2B=1.
说明 在解直角三角形中，若已知其三边的两条，可用勾股定理求出第三边的长.解题后深入研究不难发现，将勾股定理与锐角三角函数结合可证得sin2A+sin2B=1.
例7 如图3，在△ABC中，AB=AC，D为BC边上任一点，求证：AB2-AD2=BD·DC.
说明 本例虽不象例5那样，有符合勾股定理的条件，但若将例5的证法，结合本例结论进一步研究，不难发现本例也是符合勾股定理形式的.（若令BD·DC=m2，则待证式即AB2-AD2 =m2）
分析此题时，考虑求证结论中出现线段平方的形式，可能用勾股定理.但因图中又没有出现直角三角形，因此需要添加垂线，构造直角三角形.由于求证中有AB2和AD2，故必须用AB、AD去组成直角三角形，所以需作AE⊥BC于E.如图3，则由勾股定理可推出：
怎样由BE2-ED2推出BD·DC呢？这就需要利用平方差公式
BE2-ED2=(BE+ED)(BE-ED)，
而 BE+ED=BD，
又由等腰三角形的性质可知BE=CE，从而推出BE-DE=CD.
所以BE2-ED2=BD·DC，于是问题得证.
五、定理与其逆定理相结合，深化定理的理解与应用
勾股定理与它的逆定理，反映了性质定理与判定定理之间的关系，正确区分勾股定理与其逆定理，可进一步加深对直角三角形的性质与判定之间关系的认识.在学习和研究的过程中，何时用定理，何时用逆定理，特别是勾股定理逆定理的应用，不仅可以加深对勾股定理的理解，而对开阔我们的眼界，拓宽知识面，了解数学中各种方法有很大意义.
例8 设n为自然数，求证：以2n2+2n，2n+1，2n2+2n+1为边的三角形是直角三角形.
说明 例8主要是根据勾股定理的逆定理将其三边化为a2+b2=c2的形式.
例9则要根据勾股定理分析得出作法.
六、探究定理的证明，拓宽定理的应用
目前，世界上可以查到的证明勾股定理的方法有几百种.教材中虽已对勾股定理进行了证明，但在研究过程中，若能据自己的能力，适当了解和学会教材外的一些证法，不仅有利于定理的应用和理解，而且能使我们获得探寻解决问题的新方法，更利于培养我们的创造性思维能力.
例10 下面是用分割图形证明勾股定理的方法.试根据所给图形，说明怎样证明勾股定理，你还能设计其它分割方法证明勾股定理吗？
说明：对例10的研究，不仅使我们掌握了多种证明问题的方法，培养思维能力，而且丰富了研究数学问题的方法和手段.
勾股定理作为在几何上占有重要地位而又十分著名的定理，它不仅在数学上而且在其他自然科学中也有广泛的应用[back]
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时间：2022-06-24 20:21
英文译法：Pythagoras' Theorem
在一个直角三角形中，斜边边长的平方等于两条直角边边长平方之和。如果直角三角形两直角边分别为a、b，斜边为c，那么a²+b²=c²
据考证，人类对这条定理的认识，少说也超过 4000 年！
中国最早的一部数学著作——《周髀算经》的开头,就有这条定理的相关内容：周公问：“窃闻乎大夫善数也，请问古者包牺立周天历度。夫天不可阶而升，地不可得尺寸而度，请问数安从出？”商高答：“数之法出于圆方，圆出于方，方出于矩，矩出九九八十一，故折矩以为勾广三，股修四，径隅五。既方其外，半之一矩，环而共盘。得成三、四、五，两矩共长二十有五，是谓积矩。故禹之所以治天下者，此数之所由生也。”从上面所引的这段对话中，我们可以清楚地看到，我国古代的人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理这一重要懂得数学原理了。
在西方有文字记载的最早的证明是毕达哥拉斯给出的。据说当他证明了勾股定理以后，欣喜若狂，杀牛百头，以示庆贺。故西方亦称勾股定理为“百牛定理”。遗憾的是，毕达哥拉斯的证明方法早已失传，我们无从知道他的证法。
实际上，在更早期的人类活动中，人们就已经认识到这一定理的某些特例。除上述两个例子外，据说古埃及人也曾利用“勾三股四弦五”的法则来确定直角。但是，这一传说引起过许多数学史家的怀疑。比如说，美国的数学史家M·克莱因教授曾经指出：“我们也不知道埃及人是否认识到毕达哥拉斯定理。我们知道他们有拉绳人（测量员），但所传他们在绳上打结，把全长分成长度为3、4、5的三段，然后用来形成直角三角形之说，则从未在任何文件上得证实。”不过，考古学家们发现了几块大约完成于公元前2000年左右的古巴比伦的泥板书，据专家们考证，其中一块上面刻有如下问题：“一根长度为 30个单位的棍子直立在墙上，当其上端滑下6个单位时，请问其下端离开墙角有多远？”这是一个三边为为3:4:5三角形的特殊例子；专家们还发现，在另一块泥板上面刻着一个奇特的数表，表*刻有四列十五行数字，这是一个勾股数表：最右边一列为从1到15的序号，而左边三列则分别是股、勾、弦的数值，一共记载着15组勾股数。这说明，勾股定理实际上早已进入了人类知识的宝库。
勾股定理是几何学中的明珠，它充满魅力，千百年来，人们对它的证明趋之若鹜，其中有著名的数学家、画家，也有业余数学爱好者，有普通的老百姓，也有尊贵的政要权贵，甚至有国家总统。也许是因为勾股定理既重要又简单又实用，更容易吸引人，才使它成百次地反复被人炒作，反复被人论证。1940年出版过一本名为《毕达哥拉斯命题》的勾股定理的证明专辑，其中收集了367种不同的证明方法。实际上还不止于此，有资料表明，关于勾股定理的证明方法已有500余种，仅我国清末数学家华蘅芳就提供了二十多种精彩的证法。这是任何定理无法比拟的。（※关于勾股定理的详细证明，由于证明过程较为繁杂，不予收录。）
人们对勾股定理感兴趣的原因还在于它可以作推广。
欧几里得在他的《几何原本》中给出了勾股定理的推广定理：“直角三角形斜边上的一个直边形，其面积为两直角边上两个与之相似的直边形面积之和”。
从上面这一定理可以推出下面的定理：“以直角三角形的三边为直径作圆，则以斜边为直径所作圆的面积等于以两直角边为直径所作两圆的面积和”。
勾股定理还可以推广到空间：以直角三角形的三边为对应棱作相似多面体，则斜边上的多面体的表面积等于直角边上两个多面体表面积之和。
若以直角三角形的三边为直径分别作球，则斜边上的球的表面积等于两直角边上所作二球表面积之和。
如此等等。
【附录】
一、【《《周髀算经》·》简介】
《周髀算经》算经十书之一。约成书于公元前二世纪，原名《周髀》，它是我国最古老的天文学著作，主要阐明当时的盖天说和四分历法。唐初规定它为国子监明算科的教材之一，故改名《周髀算经》。《周髀算经》在数学上的主要成就是介绍了勾股定理及其在测量上的应用。原书没有对勾股定理进行证明，其证明是三国时东吴人赵爽在《周髀注》一书的《勾股圆方图注》中给出的。
《周髀算经》使用了相当繁复的分数算法和开平方法。
二、【伽菲尔德证明勾股定理的故事】
1876年一个周末的傍晚，在美国首都华盛顿的郊外，有一位中年人正在散步，欣赏黄昏的美景，他就是当时美国俄亥俄州共和党议员伽菲尔德。他走着走着，突然发现附近的一个小石凳上，有两个小孩正在聚精会神地谈论着什么，时而大声争论，时而小声探讨。由于好奇心驱使，伽菲尔德循声向两个小孩走去，想搞清楚两个小孩到底在干什么。只见一个小男孩正俯着身子用树枝在地上画着一个直角三角形。于是伽菲尔德便问他们在干什么？那个小男孩头也不抬地说：“请问先生，如果直角三角形的两条直角边分别为3和4，那么斜边长为多少呢？”伽菲尔德答道：“是5呀。”小男孩又问道：“如果两条直角边长分别为5和7，那么这个直角三角形的斜边长又是多少？”伽菲尔德不假思索地回答道：“那斜边的平方一定等于5的平方加上7的平方。”小男孩又说：“先生，你能说出其中的道理吗？”伽菲尔德一时语塞，无法解释了，心里很不是滋味。
于是，伽菲尔德不再散步，立即回家，潜心探讨小男孩给他出的难题。他经过反复思考与演算，终于弄清了其中的道理，并给出了简洁的证明方法。
解：勾股定理的内容：直角三角形两直角边a、b的平方和等于斜边c的平方，
a2+b2=c2
说明：我国古代学者把直角三角形的较短直角边称为“勾”，较长直角边为“股”，斜边称为“弦”，所以把这个定理成为“勾股定理”。勾股定理揭示了直角三角形边之间的关系。
举例：如直角三角形的两个直角边分别为3、4，则斜边c2= a2+b2=9+16=25
则说明斜边为5。
参考资料：百度百科
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时间：2022-06-24 20:21
这个网页上详细介绍了古代跟现代的勾股定理的证明及发展
