椭圆公式和双曲线公式推导
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发布时间：2022-04-27 00:23
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时间：2022-06-21 16:05
一、椭圆。
椭圆（Ellipse）是平面内到定点F1、F2的距离之和等于常数（大于|F1F2|）的动点P的轨迹，F1、F2称为椭圆的两个焦点。其数学表达式为：|PF1|+|PF2|=2a（2a>|F1F2|）。
椭圆截与两焦点连线重合的直线所得的弦为长轴；椭圆截垂直平分两焦点连线的直线所得弦为短轴。
在平面直角坐标系中，用方程描述了椭圆，椭圆的标准方程中的“标准”指的是中心在原点，对称轴为坐标轴。
椭圆的标准方程有两种，取决于焦点所在的坐标轴：
1）焦点在X轴时，标准方程为：x²/a²+y²/b²=1 (a>b>0)
2）焦点在Y轴时，标准方程为：y²/a²+x²/b²=1 (a>b>0)
椭圆上任意一点到F1,F2距离的和为2a，F1,F2之间的距离为2c。而公式中的b²=a²-c²。b是为了书写方便设定的参数。
椭圆的面积是πab。
标准形式的椭圆在（x0，y0）点的切线就是 ：xx0/a²+yy0/b²=1。
对称性：关于X轴对称，Y轴对称，关于原点中心对称。
顶点：（a，0）（-a，0）（0，b）（0，-b）。
离心率越大椭圆就越扁，越小则越接近于圆。
椭圆的周长等于特定的正弦曲线在一个周期内的长度。
二、双曲线。
双曲线（希腊语“ὑπερβολή”，字面意思是“超过”或“超出”）是定义为平面交截直角圆锥面的两半的一类圆锥曲线。
它还可以定义为与两个固定的点（叫做焦点）的距离差是常数的点的轨迹。这个固定的距离差是a的两倍，这里的a是从双曲线的中心到双曲线最近的分支的顶点的距离。a还叫做双曲线的实半轴。焦点位于贯穿轴上，它们的中间点叫做中心，中心一般位于原点处。
可以从图像中看出，双曲线有两个分支。当焦点在x轴上时，为左轴与右轴；当焦点在y轴上时，为上轴与下轴。
双曲线有两个焦点。焦点的横（纵）坐标满足c²=a²+b²。
双曲线和它的对称轴有两个交点，它们叫做双曲线的顶点。
两顶点之间的距离称为双曲线的实轴。实轴长的一半称为实半轴。
在y轴上画出B1(0,b)和B2(0,-b),以B1B2为虚轴。
双曲线有两条渐近线。渐近线和双曲线不相交。一般地我们把直线Y=±(b/a)X叫做双曲线的渐进线（asymptote to the hyperbola ）。特别地，反比例函数的图像为双曲线，它的渐近线是两条坐标轴。
三、抛物线。
平面内，到定点与定直线的距离相等的点的轨迹叫做抛物线。其中定点叫抛物线的焦点，定直线叫抛物线的准线。
抛物线是指平面内到一个定点F（焦点）和一条定直线l（准线）距离相等的点的轨迹。它有许多表示方法，例如参数表示，标准方程表示等等。 它在几何光学和力学中有重要的用处。 抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线。二次函数图像就是一条抛物线。
抛物线有开口方向，右开口抛物线：y2=2px。左开口抛物线：y2= -2px，上开口抛物线：x2=2py，下开口抛物线：x2=-2py。
①原点在抛物线上； ②对称轴为坐标轴的抛物线如上图，③准线与对称轴垂直，垂足与焦点分别对称于原点，它们与原点的距离都等于一次项系数的绝对值的1/4。
抛物线是轴对称图形，它的对称轴简称轴，抛物线与其对称轴的交点叫做抛物线的顶点。
抛物线即把物体抛掷出去，落在远处地面，这物体在空中经过的曲线。经焦点的光线经抛物线反射后的光线平行于抛物线的对称轴。
希望我能帮助你解疑释惑。
