初中,因式分解问题
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发布时间：2022-04-26 22:37
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时间：2022-06-19 04:31
因式分解
因式分解指的是把一个多项式分解为几个整式的积的形式，它是中学数学中最重要的恒等变形之一，它被广泛地应用于初等数学之中，是我们解决许多数学问题的有力工具．因式分解方法灵活，技巧性强，学习这些方法与技巧，不仅是掌握因式分解内容所必需的，而且对于培养学生的解题技能，发展学生的思维能力，都有着十分独特的作用．初中数学教材中主要介绍了提取公因式法、运用公式法、分组分解法和十字相乘法．而在竞赛上，又有拆项和添项法，待定系数法，双十字相乘法，轮换对称法等．
⑴提公因式法
①公因式：各项都含有的公共的因式叫做这个多项式各项的～.
②提公因式法：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式写成因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法.
am＋bm＋cm＝m（a+b+c）
③具体方法：当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的. 如果多项式的第一项是负的，一般要提出“－”号，使括号内的第一项的系数是正的.
⑵运用公式法
①平方差公式：. a^2－b^2＝(a＋b)(a－b)
②完全平方公式： a^2±2ab＋b^2＝(a±b)^2
※能运用完全平方公式分解因式的多项式必须是三项式,其中有两项能写成两个数(或式)的平方和的形式，另一项是这两个数(或式)的积的2倍.
③立方和公式：a^3+b^3＝ (a+b)(a^2-ab+b^2).
立方差公式：a^3-b^3＝ (a-b)(a^2+ab+b^2).
④完全立方公式： a^3±3a^2b＋3ab^2±b^3＝(a±b)^3
⑤a^n-b^n=(a-b)[a^(n-1)+a^(n-2)b+……+b^(n-2)a+b^(n-1)]
a^m+b^m=(a+b)[a^(m-1)-a^(m-2)b+……-b^(m-2)a+b^(m-1)](m为奇数)
⑶分组分解法
分组分解法：把一个多项式分组后，再进行分解因式的方法.
分组分解法必须有明确目的，即分组后，可以直接提公因式或运用公式.
⑷拆项、补项法
拆项、补项法：把多项式的某一项拆开或填补上互为相反数的两项（或几项），使原式适合于提公因式法、运用公式法或分组分解法进行分解；要注意，必须在与原多项式相等的原则进行变形.
⑸十字相乘法
①x^2＋（p q）x＋pq型的式子的因式分解
这类二次三项式的特点是：二次项的系数是1；常数项是两个数的积；一次项系数是常数项的两个因数的和.因此，可以直接将某些二次项的系数是1的二次三项式因式分解： x^2＋（p q）x＋pq＝（x＋p）（x＋q）
②kx^2＋mx＋n型的式子的因式分解
如果能够分解成k＝ac，n＝bd，且有ad＋bc＝m 时，那么
kx^2＋mx＋n＝（ax b）（cx d）
a \-----/b ac＝k bd＝n
c /-----\d ad＋bc＝m
※ 多项式因式分解的一般步骤：
①如果多项式的各项有公因式，那么先提公因式；
②如果各项没有公因式，那么可尝试运用公式、十字相乘法来分解；
③如果用上述方法不能分解，那么可以尝试用分组、拆项、补项法来分解；
④分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。
(6)应用因式定理：如果f（a）=0，则f（x）必含有因式（x-a）。如f（x）=x^2+5x+6，f（-2）=0，则可确定（x+2）是x^2+5x+6的一个因式。
经典例题：
1.分解因式(1+y)^2-2x^2(1+y^2)+x^4(1-y)^2
解：原式=(1+y)^2+2(1+y)x^2(1+y)+x^4(1-y)^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)
=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-2(1+y)x^2(1-y)-2x^2(1+y^2)
=[(1+y)+x^2(1-y)]^2-(2x)^2
=[(1+y)+x^2(1-y)+2x]·[(1+y)+x^2(1-y)-2x]
=(x^2-x^2y+2x+y+1)(x^2-x^2y-2x+y+1)
=[(x+1)^2-y(x^2-1)][(x-1)^2-y(x^2-1)]
=(x+1)(x+1-xy+y)(x-1)(x-1-xy-y)
2.证明：对于任何数x,y，下式的值都不会为33
x^5+3x^4y-5x^3y^2+4xy^4+12y^5
解：原式=(x^5+3x^4y)-(5x^3y^2+15x^2y^3)+(4xy^4+12y^5)
=x^4(x+3y)-5x^2y^2(x+3y)+4y^4(x+3y)
=(x+3y)(x^4-5x^2y^2+4y^4)
=(x+3y)(x^2-4y^2)(x^2-y^2)
=(x+3y)(x+y)(x-y)(x+2y)(x-2y)
当y=0时，原式=x^5不等于33；当y不等于0时，x+3y,x+y,x-y,x+2y,x-2y互不相同，而33不能分成四个以上不同因数的积，所以原命题成立
因式分解的十二种方法
把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解。因式分解的方法多种多样，现总结如下：
1、 提公因法
如果一个多项式的各项都含有公因式，那么就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式。
例1、 分解因式x^3 -2x^2 -x(2003淮安市中考题)
x^3 -2x^2 -x=x(x^2 -2x-1)
2、 应用公式法
由于分解因式与整式乘法有着互逆的关系，如果把乘法公式反过来，那么就可以用来把某些多项式分解因式。
例2、分解因式a^2 +4ab+4b^2 (2003南通市中考题)
解：a^2 +4ab+4b^2 =（a+2b）
3、 分组分解法
要把多项式am+an+bm+bn分解因式，可以先把它前两项分成一组，并提出公因式a，把它后两项分成一组，并提出公因式b，从而得到a(m+n)+b(m+n),又可以提出公因式m+n，从而得到(a+b)(m+n)
例3、分解因式m^2 +5n-mn-5m
解：m^2+5n-mn-5m= m^2-5m -mn+5n
= (m^2 -5m )+(-mn+5n)
=m(m-5)-n(m-5)
=(m-5)(m-n)
4、 十字相乘法
对于mx^2 +px+q形式的多项式，如果a×b=m,c×d=q且ac+bd=p，则多项式可因式分解为(ax+d)(bx+c)
例4、分解因式7x^2 -19x-6
分析：
1 -3
7 2
2-21=-19
解：7x^2 -19x-6=（7x+2）(x-3)
5、配方法
对于那些不能利用公式法的多项式，有的可以利用将其配成一个完全平方式，然后再利用平方差公式，就能将其因式分解。
例5、分解因式x^2 +3x-40
解x^2 +3x-40
=x^2+3x+2.25-42.25
=(x+1.5)^2-(6.5)^2
=(x+8)(x-5)
6、拆、添项法
可以把多项式拆成若干部分，再用进行因式分解。
例6、分解因式bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)
解：bc(b+c)+ca(c-a)-ab(a+b)=bc(c-a+a+b)+ca(c-a)-ab(a+b)
=bc(c-a)+ca(c-a)+bc(a+b)-ab(a+b)
=c(c-a)(b+a)+b(a+b)(c-a)
=(c+b)(c-a)(a+b)
7、 换元法
有时在分解因式时，可以选择多项式中的相同的部分换成另一个未知数，然后进行因式分解，最后再转换回来。
例7、分解因式2x^4 -x^3 -6x^2 -x+2
8、 求根法
令多项式f(x)=0,求出其根为x1 ,x2 ,x3 ,……xn ,则多项式可因式分解为f(x)=(x-x1 )(x-x2 )(x-x3 )……(x-xn )
例8、分解因式2x^4 +7x^3 -2x^2 -13x+6
解：令f(x)=2x^4 +7x^3 -2x^2 -13x+6=0
通过综合除法可知，f(x)=0根为1/2 ，-3，-2，1
则2x^4 +7x^3 -2x^2 -13x+6=(2x-1)(x+3)(x+2)(x-1)
9、 图像法
令y=f(x)，做出函数y=f(x)的图像，找到函数图像与X轴的交点x1 ,x2 ,x3 ,……xn ，则多项式可因式分解为f(x)= f(x)=(x-x1 )(x-x2 )(x-x3 )……(x-xn )
例9、因式分解x^3 +2x^2 -5x-6
解：令y= x^3 +2x^2 -5x-6
作出其图像，与x轴交点为-3，-1，2
则x^3 +2x^2 -5x-6=(x+1)(x+3)(x-2)
10、 主元法
先选定一个字母为主元，然后把各项按这个字母次数从高到低排列，再进行因式分解。
例10、分解因式a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)
分析：此题可选定a为主元，将其按次数从高到低排列
解：a (b-c)+b (c-a)+c (a-b)=a (b-c)-a(b -c )+(b c-c b)
=(b-c) [a -a(b+c)+bc]
=(b-c)(a-b)(a-c)
11、 利用特殊值法
将2或10代入x，求出数P，将数P分解质因数，将质因数适当的组合，并将组合后的每一个因数写成2或10的和与差的形式，将2或10还原成x，即得因式分解式。
例11、分解因式x^3 +9x^2 +23x+15
解：令x=2，则x^3 +9x^2 +23x+15=8+36+46+15=105
将105分解成3个质因数的积，即105=3×5×7
注意到多项式中最高项的系数为1，而3、5、7分别为x+1，x+3，x+5，在x=2时的值
则x^3 +9x^2 +23x+15可能=（x+1）（x+3）（x+5） ，验证后的确如此。
12、待定系数法
首先判断出分解因式的形式，然后设出相应整式的字母系数，求出字母系数，从而把多项式因式分解。
例12、分解因式x^4 -x^3 -5x^2 -6x-4
分析：易知这个多项式没有一次因式，因而只能分解为两个二次因式。
解：设x^4 -x^3 -5x^2 -6x-4=(x^2 +ax+b)(x^2 +cx+d)
= x^4 +(a+c)x^3 +(ac+b+d)x^2 +(ad+bc)x+bd
所以 解得
则x^4 -x^3 -5x^2 -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)
初学因式分解的“四个注意”
因式分解初见于九年义务教育三年制初中教材《代数》第二册，在初二上学期讲授，但它的内容却渗透于整个中学数学教材之中。学习它，既可以复习初一的整式四则运算，又为本册下一章分式打好基础；学好它，既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力。其中四个注意，则必须引起师生的高度重视。
因式分解中的四个注意散见于教材第5页和第15页，可用四句话概括如下：首项有负常提负，各项有“公”先提“公”，某项提出莫漏1，括号里面分到“底”。现举数例，说明如下，供参考。
例1 把－a2－b2＋2ab＋4分解因式。
解：－a2－b2＋2ab＋4＝－（a2－2ab＋b2－4）＝－（a－b＋2）（a－b－2）
这里的“负”，指“负号”。如果多项式的第一项是负的，一般要提出负号，使括号内第一项系数是正的。防止学生出现诸如－9x2＋4y2＝（－3x）2－（2y）2＝（－3x＋2y）（－3x－2y）＝（3x－2y）（3x＋2y）的错误?
如例2 △abc的三边a、b、c有如下关系式：－c2＋a2＋2ab－2bc＝0，求证这个三角形是等腰三角形。
分析：此题实质上是对关系式的等号左边的多项式进行因式分解。
证明：∵－c2＋a2＋2ab－2bc＝0，∴（a＋c）（a－c）＋2b（a－c）＝0，∴（a－c）（a＋2b＋c）＝0．
又∵a、b、c是△abc的三条边，∴a＋2b＋c＞0，∴a－c＝0，
即a＝c，△abc为等腰三角形。
例3把－12x2nyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1分解因式。解：－12x2nyn＋18xn＋2yn＋1－6xnyn－1＝－6xnyn－1（2xny－3x2y2＋1）
这里的“公”指“公因式”。如果多项式的各项含有公因式，那么先提取这个公因式，再进一步分解因式；这里的“1”，是指多项式的某个整项是公因式时，先提出这个公因式后，括号内切勿漏掉1。防止学生出现诸如6p（x－1）3－8p2（x－1）2＋2p（1－x）2＝2p（x－1）2〔3（x－1）－4p〕＝2p（x－1）2（3x－4p－3）的错误。
例4 在实数范围内把x4－5x2－6分解因式。
解：x4－5x2－6＝（x2＋1）（x2－6）＝（x2＋1）（x＋6）（x－6）
这里的“底”，指分解因式，必须进行到每一个多项式因式都不能再分解为止。即分解到底，不能半途而废的意思。其中包含提公因式要一次性提“干净”，不留“尾巴”，并使每一个括号内的多项式都不能再分解。防止学生出现诸如4x4y2－5x2y2－9y2＝y2（4x4－5x2－9）＝y2（x2＋1）（4x2－9）的错误。
参考资料：http://ke.baidu.com/pic/2/11738428736726657.jpg
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时间：2022-06-19 04:31
人民教育出版社中学数学室 田载今
《九年义务教育三年制初级中学教科书•代数（试用修订本）》第二册是根据教育部2000年颁发的《九年义务教育全日制初级中学数学教学大纲（试用修订版）》，在《九年义务教育三年制初级中学教科书•代数（试用本）》第二册的基础上修订而成的，供九年义务教育三年制初中二年级全学年使用。这次修订旨在贯彻第三次全国教育工作会议的精神，保持教材原有的重视基础的优点，并使之更加有利于素质教育，更加有利于学生的全面发展，更加有利于培养学生的创新精神和实践能力。
本次修订涉及教学内容的增删、教材结构的调整和教学要求的变化，吸收了部分教材审查委员和特级教师的宝贵意见。2001年经全国中小学教材审定委员会审查通过。
由于《九年义务教育三年制初级中学教科书•代数（试用本）》第二册已为大家所熟悉，下面分两个方面，重点结合本次修订，简介这册教科书。
一、 教学内容、教材结构与教要求的变化
本册教科书共分4章，约需78课时。
（一）第八章“因式分解”，约需19课时
因式分解是式的一种重要变化，它在代数学习中具有基础作用。本章主要内容为因式分解的意义和基本方法。
本次修订中，这章教材内容、结构和要求的变化主要有以下几点。
1.教材中因式分解的基本方法，由原来的4种改为3种，即删去“十字相乘法”，保留提公因式法、运用公式法和分组分解法。教材正文相应由4节改为3节。
2.在分组分解法中增加有关 型式子的分解，并将这类二次项系数为1的二次三项式的解作为一章内容，即由分组分解法得出
并将式子
作为结论直接用于二次项系数为1的二次三项式的分解。
3.在运用公式法中，只保留平方差公式与完全平方公式（共3个公式），删去运用立方和（差）公式 分解因式。
4.*被分解的因式不超过4项。
5.改进章头的引入方式。提出问题时，注意体现因式分解的作用（可从简化计算、化简代数式等方面入手），从问题中引出因式分解的概念（改变直接给出概念的做法），使学生从这一章开始就认识到学习因式分解是有用的。
6.“读一读 用配方法分解二次三项式”的写法有所改变，突出与完全平方公式的对比，强调配方变形的道理，不涉及十字相乘法。
（二）第九章“分式”，约需19课时
分式是整式之外的另一种有理式，它是初中代数里“式”的学习中的一项重要内容。本章主要内容为分式的概念、基本性质、运算，含有字母的一元一次方程的分式方程。
本次修订中，这章教材内容、结构和要求的变化主要有以下几点。
1.利用因式分解进行约分、通分时，对于因式分解的要求与第八章所作修订同步调整。
2.新增“探究性活动： 型数量关系”作为第9.6节。
这一节按照“观察实验——发现规律——分析数量关系”的方式展开，包括三部分。
第1部分“讨论一个实际问题”，通过对一个具体例子的分析引出 型数量关系。这个例子如下。
“有一大捆粗细均匀的电线，现要确定其总长度，怎样做比较简捷（使用的工具不限，可以从中先取一小段作为检验样品）？”
第2部分“讨论矩形的面积与长、宽的数量关系”，结合几何图形的度量对数量关系进行较深入的讨论。
第3部分“讨论一般的 型的数量关系”；对前面结合具体问题所得的讨论结果作出推广，主要分析以下问题。
（1） 的等价变形
（2） 中，当 阿a为定值时， b与 c 成反比；当b（或c）为定值时， a与c（或b）成正比；
（3） 中， 或 ；
（4）发现 型数量关系的例子。
在这一节中安排了多个思考问题，要求学生围绕这些问题进行探究活动。这种安排是新的尝试，目的在于加强培养探索发现问题规律的能力。
3.在分式的乘方之后，增加了“整数指数幂的运算”，归纳出三条运算性质：
（1） ；
（2） ；
（3） 。
将正整数指数幂的5条运算性质进一步以概括、简约和推广
4.将分式方程中分式的个数*为不超过2个，加强利用分式方程解应用题的内容。
（三）第十章“数的开方”，约需12课时
开方是乘方的逆运算，也是初二学生新接触的一种代数运算。本章主要内容为平方根、立方根和实数概念，以及用计算器求平方根和立方根。
本次修订中，这章教材内容、结构和要求的变化主要有以下几点。
1.用计算器求平方根作为正文内容，突出先进的计算工具的使用。把用算表求方根列为附录，供尚无条件使用计算器的学校使用。
2.删去“读一读 怎样用笔算开平方？”，换为有关无理数的发现的数学史内容“读一读为什么说 不是有理数？”。
3.对有关实数的运算律予以适当强调。
（四）第十一章“二次根式”，约需22课时
通过学习这章，学生对式的认识从有理式扩大到无理式，这为进一步学习二次方程打下了基础。
本次修订中，这章教材内容、结构和要求的变化主要有以下几点。
1. 作为选学内容，加“*”号，相关题目作相应处理。
2.降低分母有理化题目的难度，限定题目中分母只含有一个二次根式。
在全书最后增加了“附录三 部分中英文名词对照表”，将一些基本数学名词用中文和英文对照列出，希望这样做能有助于学生今后学习专业外语。
二、由教材变化所想到的数学建议
(一）注重基础，控制难度
本册书以代数中的式和数的内容为主。这些内容都属于基础概念和基本 方法范畴，是学习代数必不可少的基础。从本次大纲和教科书的修订可以看出，初中数学的教学内容比以往更加强调基础知识和基本能力。因式分解的方法中只保留了最基本的三种，删去了相对而言技巧性较强且应用范围又仅限于二次三项式（或可化为二次三项式的式子）的十字相乘法；运用公式分解因式的内容只突出三个公式的作用；增加了“整数指数幂的运算”等新的变化，都体现了上述意图。学习内容的难度也进一步得到控制，这表现在“*被分解的因式不超过4项”，“分式方程中分式的个数*不超过2个”，“分母有理化的题目限定分母里只含有一个二次根式”等处。这样做的目的并非单纯地降低要求，更在于使学生能集中精力掌握好基础。
因此，建议教学中要突出重点，切实在基础内容上下工夫，切忌不注意学生实际提高题目难度。
（二）加强探究能力的培养
引导学生探究问题、发现规律，是培养创新精神和实践能力的重要途径。 本册教科书新增的9.6节“探究性活动： 型数量关系”，恰是为此而设的。这种题材的内容，对于教材编写和实际教学都是新课题，需要不断认真实践和总结。这里谈谈教材编者的一些建议，供教师参考。
本节教材安排在学习了有关分式的概念、性质和运算之后，旨在通过讨论一种常见的数量关系类型 ，一方面加强学生对于这种类型的数量关系的理解以及灵活运用所学知识进行式子变形的能力；另一方面培养学生从数学角度探究实际问题的能力。对于后者应予充分重视。
1. 9.6节先以一个实际问题作引子，希望能通过它引起讨论兴趣。这是一个开放性问题，解决它的方法不止一种。为使方法简捷，就需要对问题认真分析，特别是分析其中的数量关系。教科书提示学生思考电线的总质量 ，总长度 和单位长度的质量 三者之间的数量关系，这既有利于找出简捷的解决方法，又可以自然地引出本节的主题。因此，教学中适时地采取启发诱导的方式进行提示，可以达到较好效果，激发学生进行主动探究。在本节的第3部分中，又对这个实际问题重新提及。教学中应注意前后呼应。
2. 型数量关系是普遍存在的，教科书采用由“特殊”到“一般”的讨论方式。这一节的第2部分讨论特殊的对象，即矩形这种常见几何图形，讨论它的面积A与长 、宽 的数量关系。这三者之间存在的 关系是众所周知的。教科书在这一节的2.1和2.2两处设计了一系列问题，引导学生进一步发现隐含于 中的其他数量关系，即式子变形和正、反比关系等。在这些问题的讨论中，应提醒学生在认真完成有关填空后，注意观察、比较有关数据和图形，通过归纳观察结果得出结论，并注意对结论进行验证，充分利用好矩形这一典型例子。
3. 这一节的第3部分讨论一般的 型的数量关系。有了第2部分作基础，第3部分的主要任务是推广。教科书在3.1处安排了让学生举出 型数量关系的例子，这对于培养学生从实际问题中抽象出数量关系非常有益。教科书在3.2处通过4个问题，引导学生探究一般的 型的数量关系。这4个问题涉及到零因子、式子变形、正（反）比关系等，它们都是隐含于 中的数量关系。对这些问题的探究，可以加强学生深入分析数学解析表达式的含义的能力。
4. 教学时应注意要求学生先独立思考，经探究得出解答后再看教科书中的参*。如果学生自己所得答案与参*不同，应引导学生考虑究竟怎样解答更合理，而不应不弄清道理不盲从。
5. 教学地应结合实际灵活地处理教科书中的内容，不要拘泥于教科书中对于探究活动过程的设计。这是因为教科书中的安排设计仅是探究这个问题的一种方案，不一定适合不同的教学实际环境。教学中应针对学生的情况，采取最能发挥学生积极性的方案，激发探究的热情，使这种学习形式真正达到生动、活泼、主动的效果。
（三）重视运算能力的培养
数学的学习和应用都离不开运算，数学中的运算不仅有数的计算，而且包括其他对象（例如代数式）依照一定法则所进行的演变。本册教科书中“数的开方”是数的计算，而“分式”、“二次根式”两章的很多内容是代数式的运算。对于数*算能力的培养训练，要随着科技发展和社会时步而提高。过去人们为了提高运算效率创作了各种算表，使之成为重要的计算工具。然而，随着计算工具的进步和计算技术的发展，原有的算表多已落伍，计算机和计算器的出现使运算发生了根本的变化，这种进步必然要对数学学习产生重大影响。本册教科书第十章中，将用计算器求平方根和立方根作为正文，而将查平方根表和立方根表列入附表，就是适应上述变化之举。教学中也应跟上变化，使学生切实掌握计算器的有关使用方法，并注意充分发挥计算器的其他有关功能，使之成为学习的有力工具。
计算工具的发展可以提高运算效率，但不能完全替代人脑工作。 对于运算的学习应随着计算工具的发展而提高水平，而不应使人的运算能力退化。这就是说，随着学生从大量的重复性的简单运算操作中得到解放，他们应更注重运算的基本道理，更善于使运算合理、简捷。本册教科书中和八章章头问题的引入，第九章将正整指数幂的5条运算性质进一步加以概括、简约和推广，第十章“读一读”内容的更换等都体现了上述要求的提高。
