这是离散题目，明天考试，快来帮忙啊，我没多少币的，别见怪
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发布时间：2023-09-13 10:28
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时间：2024-09-23 09:27
任取a ∈ G, 由方程a·y = a有解, 存在e ∈ G, 使得a·e = a.
对任意b ∈ G, 由方程y·a = b有解, 存在c ∈ G, 使c·a = b.
可知b·e = (c·a)·e = c·(a·e) = c·a = b.
由b的任意性, e是G中的右单位元, 特别的, 可知e·e = e.
又由方程b·y = e有解, 存在d ∈ G, 使b·d = e.
而方程d·y = e有解, 故存在f ∈ G, 使d·f = e.
有b = b·e = b·(d·f) = (b·d)·f = e·f.
于是e·b = e·(e·f) = (e·e)·f = e·f = b.
由b的任意性, e也是G中的左单位元.
综合两边, e是G中的单位元.
而前面已得b = e·f, 故b = f.
有b·d = d·b = e, 即d是b的逆元.
由b的任意性, G中元素总存在逆元.
综上, 半群(G,·)是一个群, 证毕.
注: 上述证明(不太明显的)包含了一个中间结论:
存在右单位元与右逆元的半群就是一个群.
知道这个结果的话证明会简单很多.
