基矩阵的世界空间到相机空间的变换
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发布时间：2022-04-26 00:45
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时间：2023-10-26 03:54
空间坐标系XYZ，相机坐标系UVN。这时候相机空间的基（以下简称相机）在空间坐标系中围绕各个坐标轴旋转了一定角度<a,b,c>，然后移动了<x,y,z>。对于模型我们可以看作相对于相机的逆运动，即模型旋转了一定角度<-a,-b,-c>，然后移动了<-x,-y,-z>，可以把相机和物体的运动看成两个互逆的变换。这样，可以通过对相机的变换矩阵求逆来得到模型的变换矩阵。下面来具体看一下，如何得到相机变换矩阵，并且求得它的逆矩阵。
首先声明一下，对于一个模型的变换，我们可以给模型矩阵左乘变换矩阵：
M x P = P'
| A B C D | | x | | Ax + By + Cz + D |
| E F G H | | y | | Ex + Fy + Gz + H | x = | I J K L | | z | | Ix + Jy + Kz + L |
| M N O P | | 1 | | Mx + Ny + Oz + P |
也可以右乘变换矩阵：
P^T x M^T = P'^T
| A E I M |
| B F J N || x y z 1| x = |Ax+By+Cz+D Ex+Fy+Gz+H Ix+Jy+Kz+L Mx+Ny+Oz+P| | C G K O |
| D H L P |
可以看出两种变换方式是一个转置关系，结果只是形式上的不同，但这里我们使用后者，即右乘变换矩阵，因为比较普遍。
很显然，相机的变换可以分成两个阶段：旋转和平移。我们先来看旋转。
在空间坐标系中，相机旋转之前世界坐标系xyz和相机坐标系u0v0n0的各个轴向量的方向相同，有关系： | u0 | | x |P = |Pu0 Pv0 Pn0| x | v0 | = |Px Py Pz| x | y |
| n0 | | z |
这里P是空间坐标系中的一个向量。|u0 v0 n0|^T是相机基矩阵，|Pu0 Pv0 Pn0|是P在相机基矩阵下的坐标。|x y z|^T是世界基矩阵，|Px Py Pz|是P在它下面的坐标。有Pu0 = Px， Pv0 =Py， Pn0 = Pz。
相机和向量P都旋转之后，有关系： | u | | x |P' = |Pu0 Pv0 Pn0| x | v | = |Px' Py' Pz'| x | y |
| n | | z |
P'是P同相机一起旋转后的向量。|u v n|^T是相机旋转后的基矩阵，|Pu0 Pv0 Pn0|是P'在它下面的坐标，因为P是和相机一起旋转的，所以坐标不变。|x y z|^T仍为世界基矩阵，|Px' Py' Pz'|是P'在它下面的坐标。
现在看
| u | | x ||Pu0 Pv0 Pn0| x | v | = |Px' Py' Pz'| x | y |
| n | | z |
因为|x y z|^T为一个单位阵，且Pu0 = Px， Pv0 =Py， Pn0 = Pz。 所以得到
| u | |Px Py Pz| x | v | = |Px' Py' Pz'|
| n |
即|Px Py Pz|和相机一起旋转后变成|Px' Py' Pz'|，即P x R = P'，而旋转变换矩阵R就是：
| u |
| v |
| n |
写成标准4x4矩阵：
| ux uy uz 0|
| vx vy vz 0|
| nx ny nz 0|
| 0 0 0 1|
平移矩阵T很简单：
| 1 0 0 0 |
| 0 1 0 0 |
| 0 0 1 0 |
| x y z 1 |
则相机矩阵就是：
| ux uy uz 0 | | 1 0 0 0 | | vx vy vz 0 | | 0 1 0 0 |C = R x T = x | nx ny nz 0 |1 | | x y z 1 |
它的逆矩阵，即相机的逆变换矩阵为
| 1 0 0 0 | | ux vx nx 0 | | ux vx nx 0 | | 0 1 0 0 | | uy vy ny 0 | | uy vy ny 0 |C^-1 = T^-1 x R^-1 = x = | 0 0 1 0 | | uz nz nz 0 | | uz vz nz 0 | | -x -y -z 1 | | 0 0 0 1 | |-T.u -T.v -T.n 1 |
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时间：2023-10-26 03:54
空间坐标系XYZ，相机坐标系UVN。这时候相机空间的基（以下简称相机）在空间坐标系中围绕各个坐标轴旋转了一定角度<a,b,c>，然后移动了<x,y,z>。对于模型我们可以看作相对于相机的逆运动，即模型旋转了一定角度<-a,-b,-c>，然后移动了<-x,-y,-z>，可以把相机和物体的运动看成两个互逆的变换。这样，可以通过对相机的变换矩阵求逆来得到模型的变换矩阵。下面来具体看一下，如何得到相机变换矩阵，并且求得它的逆矩阵。
首先声明一下，对于一个模型的变换，我们可以给模型矩阵左乘变换矩阵：
M x P = P'
| A B C D | | x | | Ax + By + Cz + D |
| E F G H | | y | | Ex + Fy + Gz + H | x = | I J K L | | z | | Ix + Jy + Kz + L |
| M N O P | | 1 | | Mx + Ny + Oz + P |
也可以右乘变换矩阵：
P^T x M^T = P'^T
| A E I M |
| B F J N || x y z 1| x = |Ax+By+Cz+D Ex+Fy+Gz+H Ix+Jy+Kz+L Mx+Ny+Oz+P| | C G K O |
| D H L P |
可以看出两种变换方式是一个转置关系，结果只是形式上的不同，但这里我们使用后者，即右乘变换矩阵，因为比较普遍。
很显然，相机的变换可以分成两个阶段：旋转和平移。我们先来看旋转。
在空间坐标系中，相机旋转之前世界坐标系xyz和相机坐标系u0v0n0的各个轴向量的方向相同，有关系： | u0 | | x |P = |Pu0 Pv0 Pn0| x | v0 | = |Px Py Pz| x | y |
| n0 | | z |
这里P是空间坐标系中的一个向量。|u0 v0 n0|^T是相机基矩阵，|Pu0 Pv0 Pn0|是P在相机基矩阵下的坐标。|x y z|^T是世界基矩阵，|Px Py Pz|是P在它下面的坐标。有Pu0 = Px， Pv0 =Py， Pn0 = Pz。
相机和向量P都旋转之后，有关系： | u | | x |P' = |Pu0 Pv0 Pn0| x | v | = |Px' Py' Pz'| x | y |
| n | | z |
P'是P同相机一起旋转后的向量。|u v n|^T是相机旋转后的基矩阵，|Pu0 Pv0 Pn0|是P'在它下面的坐标，因为P是和相机一起旋转的，所以坐标不变。|x y z|^T仍为世界基矩阵，|Px' Py' Pz'|是P'在它下面的坐标。
现在看
| u | | x ||Pu0 Pv0 Pn0| x | v | = |Px' Py' Pz'| x | y |
| n | | z |
因为|x y z|^T为一个单位阵，且Pu0 = Px， Pv0 =Py， Pn0 = Pz。 所以得到
| u | |Px Py Pz| x | v | = |Px' Py' Pz'|
| n |
即|Px Py Pz|和相机一起旋转后变成|Px' Py' Pz'|，即P x R = P'，而旋转变换矩阵R就是：
| u |
| v |
| n |
写成标准4x4矩阵：
| ux uy uz 0|
| vx vy vz 0|
| nx ny nz 0|
| 0 0 0 1|
平移矩阵T很简单：
| 1 0 0 0 |
| 0 1 0 0 |
| 0 0 1 0 |
| x y z 1 |
则相机矩阵就是：
| ux uy uz 0 | | 1 0 0 0 | | vx vy vz 0 | | 0 1 0 0 |C = R x T = x | nx ny nz 0 |1 | | x y z 1 |
它的逆矩阵，即相机的逆变换矩阵为
| 1 0 0 0 | | ux vx nx 0 | | ux vx nx 0 | | 0 1 0 0 | | uy vy ny 0 | | uy vy ny 0 |C^-1 = T^-1 x R^-1 = x = | 0 0 1 0 | | uz nz nz 0 | | uz vz nz 0 | | -x -y -z 1 | | 0 0 0 1 | |-T.u -T.v -T.n 1 |
