误差传播定律及其应用
发布网友
发布时间：2022-04-26 06:32
共1个回答
热心网友
时间：2022-06-24 17:55
前面已经探讨了衡量一组等精度观测值的精度指标，并指出在测量工作中通常以中误差作为衡量精度的指标。但在实际工作中，某些未知量不可能或不便于直接进行观测，而需要由另一些直接观测量根据一定的函数关系计算出来。例如，欲测量不在同一水平面上两点间的水平距离D，可以用光电测距仪测量斜距D′，并用经纬仪测量竖直角α，以函数关系D=D′cosα来推算。显然，在此情况下，函数值D的中误差与观测值D′及α的中误差之间，必定有一定关系。阐述这种函数关系的定律，称为误差传播定律。
下面推导一般函数关系的误差传播定律。
设有一般函数为
z=F（x1，x2，…，xn） （5-14）
式中：x1，x2，…，xn——可直接观测的相互独立的未知量；
z——不便于直接观测的未知量。
设xi（i=1，2，…，n）的独立观测值为li，其相应的真误差为Δxi。由于Δxi的存在，使函数Z亦产生相应的真误差Δz。将（5-14）式取全微分为
建筑工程测量
因误差Δxi及Δz都很小，故在上式中，可近似用Δxi及Δz代替dxi及dz，于是有
建筑工程测量
式中：
——函数F对各个变量的偏导数。
将xi=li代入各偏导数中，即为确定的常数。设
建筑工程测量
则（5-15）式可写成
Δz=f1·Δx1+f2·Δx2+…+fn·Δxn （5-16）
为了求得函数和观测值之间的中误差关系式，设想对各xi进行了k次观测，则可写出k个类似于（5-16）式的关系式：
建筑工程测量
将以上各式等号两边平方，再相加，得
建筑工程测量
上式两端各除以k，得到
建筑工程测量
设对各xi的观测值为彼此独立的观测，则ΔxiΔxj（当i≠j时）亦为偶然误差。根据偶然误差的第四个特性可知，当k→∞时（5-17）式的末项趋近于零，即
建筑工程测量
故（5-17）式可写为
建筑工程测量
根据中误差的定义，上式可写成
建筑工程测量
当k为有限值时，可写为
建筑工程测量
建筑工程测量
（5-19）式即为计算函数中误差的一般形式。应用（5-19）式时，必须注意：各观测值必须是相互独立的变量。
【例5-3】在1：500地形图上，量得某线段的平距为dAB=51.2mm±0.2mm，求AB的实地平距DAB及其中误差mD。
解：函数关系为DAB=500×dAB=25600mm
，md=±0.2mm，代入误差传播公式（5-18）中，得
建筑工程测量
mD=±100m
最后得DAB=25.6m±0.1m
