m(y的二阶导)=mg-B-C(y的一阶导),其中B和C是常数,y(0)=0,y(一阶导数)=0,求解全过程(详世)
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发布时间：2022-04-26 19:30
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时间：2023-10-24 04:42
令P=g-B/m,Q=C/m，方程可变形为y''=P-Qy'，即为y''+Qy'=P
这是典型的二阶常系数非齐次线性微分方程
其对应的齐次线性方程为y''+Qy'=0
齐次线性方程的特征方程为：r^2+Qr=0
特征方程有两个不相等的实根，r1=0，r2=-Q
∴齐次方程通解为Y=C1e^(r1x)+C2e^(r2x)=C1+C2e^(-Qx)
原方程的通解为齐次方程的通解加上非齐次方程的一个特解
容易验证非齐次的一个特解为Px/Q
∴原方程的通解为y=Y+Px/Q=C1+C2e^(-Qx)+Px/Q
y'=-QC2e^(-Qx)+P/Q
代入初始条件，y(0)=0, y'(0)可得
C1+C2=0，-QC2+P/Q=0
联立解得C1=-P/Q^2，C2=P/Q^2
∴原方程的解为y=-P/Q^2+P/Q^2*e^(-Qx)+Px/Q
（最后你把m,B,C代入P,Q即可）
