旋转液体抛物面公式推导

发布网友 发布时间：2022-04-26 19:31

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热心网友 时间：2022-05-23 14:29

盛有液体的开口圆桶，设圆桶以定转速绕其中心铅垂改旋转，则由于液体粘性的作用，与容器壁接触的液体层，首先被带动而旋转，并向中心发展，使所有的液体质点都绕该轴旋转。待运动稳定厉，各质点都具有相同角速度，液面形成一个漏斗形的旋转面。将坐标系取在运动着的容器上，原点取在旋转轴与自由表而交点上，z轴垂直向上。根据达朗伯原形，作用在液体质点上的质量力除了重力以外，还要虚加一个大小等于液体质点的质量乘以向心速度，方向与向心加速度相反的离心惯性力。对于等角速圆周运动来说，液体中任一质点m(x,y,z)处的离心惯性力F=mrω²
式中M为质点质量，ω为角速度即为圆桶的转速，r为该点所在位置的半径，r=√(x²+y²)。单位质量离心力F/m在x轴、y轴方向的分量为
X=rω²cosα=xω²，Y=rω²sinα=yω²
沿远方向的质量力分量为 Z=-g

下面求流体静压力分布规律和等压面方程。

将单位质量力带入流体平衡微分方程式的全微分表达式有
dp=ρ(xω²dx+yω²dy-gdz)
积分有 p=ρ(1/2x²ω²+1/2y²ω²-gz)+C 或 p=ρ(1/2r²ω²-gz)+p0
根据边界条件，当r=0,z=0时，p=p0，
积分常数C=p0于是得 p=ρ(1/2r²ω²-gz)+p0
这就是等角度旋转容器中液体游压力分布公式。公式说明；在同一高度上，液体静压力
沿径向按半径二次方增长。

将单位质量力带入等压面微分方程式有
dp=ρ(xω²dx+yω²dy-gdz)=0
积分有1/2x²ω²+1/2y²ω²-gz=0 或 1/2r²ω²-gz=C
这说明，等压面条一按绕z轴的旋转抛物面。在自由表面上当r=0,z＝0可得积分
常数C=0，故自由液面方程为z=ω²r²/2g
楼主所说的2就是此处的2，通过等压面微分方程积分得到。

热心网友 时间：2022-05-23 14:29

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