单调迭代法求解微分方程的理论意义是什么,要1000来字的

发布网友发布时间：2022-04-26 17:06

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热心网友时间：2022-07-14 05:05

现实生活中,因为各种各样的因素很难完全考虑在内使得很多问题很难得到精确解,实际上也不需要得到精确解。例如普通工程中可以允许5%的误差。如果我们能够在规定的误差内较为方便的得到近似解,也是一个很好的解决方式。数值分析中介绍的一些迭代法例如Jacobi 迭代和Gauss-Seidel 迭代可以较好的解决这些问题,本文中将以这两种迭代方式为主解一偏微分方程,而该偏微分方程来自于现实中的洋流问题。

关键词:

Jacobi 迭代 Gauss-Seidel 迭代近似解

一、问题重述

研究一地球表面的一正方形洋流()10,10≤≤≤≤y x ,其中x 正方向代表地球的正东,y 正方向代表地球的正北方向。洋流由一流函数()y x ,φ定义,从而实际流速可以由向量()x y ∂∂∂∂-/,/φφ。如果地球是平的,流函数应该满足拉普拉斯方程,考虑地球的曲率在内,由纬度决定的科氏力应该考虑在内,得到一对流扩散的方程:

()1,0,for 02222∈=∂∂-⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-y x x y x φφφε 考虑到在其边界没有流动,添加边界条件0=φ。这样得到的解为在任一点0=φ。

事实上还应注意到海洋表面风的存在,因此在方程右端添加一非平凡解正弦强迫项()y πsin 。最终得到()y x ,φ满足的方程:

()()1,0,for sin 2222∈=∂∂-⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂+∂∂-y x y x y x πφφφε 边界上满足:0=φ。要求求解出()y x ,φ。

二、解决方案

理论计算是很繁琐的,将与ε有关。不妨换一种思路,使用迭代拟合的方法并利用计算机强大的运算能力得到其误差允许范围内的近似解。具体实施如下:

将]1,0[]1,0[⨯分为n n ⨯格,

()y x ,φ在正方形区域所有点都成立转化为在所有格点上都成立,进行数值拟合。

由

()()()()2

''2h h x f x f h x f x f -+-+≈

,()()()h h x f h x f x f 2