实对称矩阵相同特征值的特征向量相互正交吗
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发布时间：2022-04-26 16:42
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好二三四
时间：2022-09-22 23:23
实对称矩阵的特征向量一定正交。如果有n阶矩阵A，其矩阵的元素都为实数，且矩阵A的转置等于其本身（aij=aji）（i，j为元素的脚标），则称A为实对称矩阵。
矩阵是高等代数学中的常见工具，也常见于统计分析等应用数学学科中。在物理学中，矩阵于电路学、力学、光学和量子物理中都有应用；计算机科学中，三维动画制作也需要用到矩阵。矩阵的运算是数值分析领域的重要问题。将矩阵分解为简单矩阵的组合可以在理论和实际应用上简化矩阵的运算。
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时间：2024-09-11 05:45
实对称矩阵相同特征值的特征向量不一定相互正交。例如：n×n阶单位矩阵E是实对称矩阵，且任何n维向量都是E的特征向量，但不能说任何两个n维向量都是正交的，属于单位阵E的某个特征值的特征向量有的相互正交，也有的不相互正交。
实对称矩阵的主要性质：
1、实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。
2、实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。
3、n阶实对称矩阵A必可对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。
4、若λ具有k重特征值 必有k个线性无关的特征向量，或者说必有秩r(λE-A)=n-k，其中E为单位矩阵。
扩展资料：
正交矩阵的相关性质
1、方阵A正交的充要条件是A的行（列）向量组是单位正交向量组；
2、方阵A正交的充要条件是A的n个行（列）向量是n维向量空间的一组标准正交基；
3、A是正交矩阵的充要条件是：A的行向量组两两正交且都是单位向量；
4、A的列向量组也是正交单位向量组；
5、正交方阵是欧氏空间中标准正交基到标准正交基的过渡矩阵。
参考资料来源：百度百科-实对称矩阵
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时间：2024-09-11 05:53
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时间：2024-09-11 05:46
实对称矩阵相同特征值的特征向量不一定相互正交。例如：n×n阶单位矩阵E是实对称矩阵，且任何n维向量都是E的特征向量，但不能说任何两个n维向量都是正交的，属于单位阵E的某个特征值的特征向量有的相互正交，也有的不相互正交。
实对称矩阵的主要性质：
1、实对称矩阵A的不同特征值对应的特征向量是正交的。
2、实对称矩阵A的特征值都是实数，特征向量都是实向量。
3、n阶实对称矩阵A必可对角化，且相似对角阵上的元素即为矩阵本身特征值。
4、若λ具有k重特征值 必有k个线性无关的特征向量，或者说必有秩r(λE-A)=n-k，其中E为单位矩阵。
正交矩阵性质
实数方块矩阵是正交的，当且仅当它的列形成了带有普通欧几里得点积的欧几里得空间R的正交规范基，它为真当且仅当它的行形成R的正交基。假设带有正交（非正交规范）列的矩阵叫正交矩阵可能是诱人的，但是这种矩阵没有特殊价值而没有特殊名字；他们只是MM=D，D是对角矩阵。
1、逆也是正交阵；
2、积也是正交阵；
3、行列式的值为正1或负1。
任何正交矩阵的行列式是＋1或−1。这可从关于行列式的如下基本事实得出：（注：反过来不是真的；有＋1行列式不保证正交性，即使带有正交列，可由下列反例证实。）
对于置换矩阵，行列式是＋1还是−1匹配置换是偶还是奇的标志，行列式是行的交替函数。
比行列式限制更强的是正交矩阵总可以是在复数上可对角化来展示特征值的完全的集合，它们全都必须有（复数）绝对值1。
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时间：2024-09-11 05:45
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时间：2024-09-11 05:53
