(.线性代数)为什么A为实对称矩阵, B也为是对称

发布网友发布时间：2022-04-26 16:42

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热心网友时间：2023-10-15 01:09

首先，根据对称矩阵的性质，就是矩阵的转置矩阵=原矩阵，把A的转置矩阵记为A'
那么A=A'
根据转置矩阵的性质可知（kA^n）'=kA^n，即A的任何次方再乘以任何常数也是对称矩阵
依据是转置矩阵的运算性质：
.(kA)'=kA'(k为实数)和(AB)'=B'A'
那么A^n=AAA……A（n个A相乘）=A'A'A'……A'（n个A'相乘）=（A^n）'
所以A^n是对称矩阵。所以kA^n也是对称矩阵。
那么A^5是对称矩阵，-4A³是对称矩阵，E当然也是对称矩阵。
那么B是由这三个对称矩阵相加得到的，所以也是对称矩阵。
对称矩阵之和，也是对称矩阵，根据转置矩阵的以下性质：
(A+B)'=A'+B'，
所以如果A和B都是对称矩阵，那么(A+B)'=A'+B'=A+B，即A+B也是对称矩阵。
所以B=A^5-4A³+E是由三个对称矩阵相加得到的，也是对称矩阵。