有一个线性代数的证明题不会,请高手解答

发布网友发布时间：2023-10-12 05:46

共3个回答

热心网友时间：2024-11-19 09:14

因为 AB=0
所以 B 的列向量都是AX=0 的解 -- AB=A(B1,...,Bn)=(AB1,...,ABn)=0, 故 ABi=0
故B的列向量可由AX=0的基础解系线性表示
所以 r(B) <= n-r(A)
所以 r(A)+r(B)<=n.

热心网友时间：2024-11-19 09:14

别的思路,请参考:
用f,g表示与A,B对应的n维向量空间K^n上的线性变换,那么合成 fg 是零映射.
g f
K^n ------>K^n ----------> K^n
这说明 g 的像包含在 f 的核中
Im(g) 含于 Ker(f)
所以
rank(B) = " Im(g)的维数" 小于等于 " Ker(f) 的维数 " = n - rank(A)

热心网友时间：2024-11-19 09:15

考虑矩阵B的所有列向量b1, b2, b3, ..., bn
bi是线性方程AX = 0的解。设R(A) = r1，则线性方程AX = 0的解空间的维数是n-r1（或者说基础解系中有n-r1个向量），由于{b1, b2, ..., bn}是属于n-r1维解空间的一个向量组，所以rank{b1, b2, ..., bn} = R{B} <= n-r1.