logX<X怎么证明?

发布网友发布时间：2023-07-21 13:01

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热心网友时间：2024-10-24 01:50

约定:[ ]内是对数底数
原题是:log[2]x<x怎么证明？
要证::log[2]x<x (x>0)
只需证:(ln2)x-lnx>0 (x>0)
设f(x)=(ln2)x-lnx
f'(x)=(ln2)-(1/x )=(x-(1/ln2))(ln2/x) (x>0)
x ∈(0,1/ln2),f'(x)<0,f(x)在其上单减,
x ∈(1/ln2,+∞),f'(x)>0,f(x)在其上单增
f'(1/ln2)=0,f(x)在x=1/ln2处取极小值也是最小值f(1/ln2)=1+ln(ln2))
而1+ln(ln2))>1+ln(1/e))=0
得 (ln2)x-lnx≥f(1/ln2)>0
所以 log[2]x<x

希望能帮到你！

热心网友时间：2024-10-24 01:51

Y=X; Y=Log2X 这两个图形一画就看出来了

热心网友时间：2024-10-24 01:51

解：
log[2]x<x (x>0)
只需证:(ln2)x-lnx>0 (x>0)
设f(x)=(ln2)x-lnx
f'(x)=(ln2)-(1/x )=(x-(1/ln2))(ln2/x) (x>0)
x ∈(0,1/ln2),f'(x)<0,f(x)在其上单减,
x ∈(1/ln2,+∞),f'(x)>0,f(x)在其上单增
f'(1/ln2)=0,f(x)在x=1/ln2处取极小值也是最小值f(1/ln2)=1+ln(ln2))
而1+ln(ln2))>1+ln(1/e))=0
得 (ln2)x-lnx≥f(1/ln2)>0
所以 log[2]x<x

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logX<X怎么证明?