高等代数理论基础56:不变因子
发布网友
发布时间：2023-07-21 04:00
共1个回答
热心网友
时间：2024-11-13 14:51
k级子式的首项系数为1的最大公因式 称为 的k级行列式因子
定理：等价的 -矩阵具有相同的秩与相同的各级行列式因子
证明：
计算标准形矩阵的行列式因子
设标准形为
其中 是首一多项式,且
易证,在这种形式的矩阵中,若一个k级子式包含的行与列的标号不完全相同,则该k级子式一定为零
为计算k级行列式因子,只要看由 行与 列( )组成的k级子式即可
而该k级子式等于
显然,该k级子式的最大公因式为
定理： -矩阵的标准形是唯一的
证明：
定义：标准形的主对角线上非零元素 称为 -矩阵 的不变因子
定理：两个 -矩阵等价的充要条件为它们有相同的行列式因子,或它们有相同的不变因子
证明：
在 -矩阵的行列式因子之间,有关系
计算 -矩阵的行列式因子时,常先计算最高级的行列式因子,则大致有低级行列式因子的范围
可逆矩阵的标准形
设 为一个 可逆矩阵
,其中d为一非零常数,即
,故
故,可逆矩阵的标准形是单位矩阵E
反之,与单位矩阵等价的矩阵一定是可逆的,因为它的行列式为一非零的数
即,矩阵可逆的充要条件为它与单位矩阵等价
又矩阵 与 等价的充要条件为有一系列初等矩阵 ,使
特别地,当 时,可得定理
定理：矩阵 是可逆的充要条件为它可表成一些初等矩阵的成绩
推论：两个 的 -矩阵 与 等价的充要条件为有一个 可逆矩阵 与一个 可逆矩阵 ,使
