f(x)在[a,b]上连续有导数 且f(c)=0 a<c
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发布时间：2022-04-24 23:38
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时间：2023-10-14 22:56
(注：过程中如果有积分的话上限都是x，下限都是a)
证：对F(x)求导得：F'(x)=[f(x)(x-a)-∫f(t)dt]/(x-a)²
由积分中值定理可知，存在a<ξ<x，使得∫f(t)dt=f(ξ)(x-a)
于是F'(x)=[f(x)(x-a)-f(ξ)(x-a)]/(x-a)²=[f(x)-f(ξ)]/(x-a)
又因为f(x)在(a,b]上单调递增，所以f(x)>f(ξ),而显然x>a
所以：F'(x)=[f(x)-f(ξ)]/(x-a)>0
所以F(x)在(a,b]上也单调递增。
证毕.追问看清问题好伐。。
追答因为我们根本就不知道端点处是否有导数（在(a,b)内可导）
证明方法是利用辅助函数
构造g(x)=f(x)-[f(b)-f(a)](x-a)/(b-a)
然后g(a)=g(b)=f(a)
利用Rolle定理说明护旦份费莓渡逢杀抚辑g'(c)=0
那么f'(c)=[f(b)-f(a)]/(b-a)
回复:
极限的局部保号性：若lim[x→x0] f(x)>0，则存在x0的邻域，在此邻域内有f(x)>0
因为f+'(a)>0，即lim[x→a+] [f(x)-f(a)]/(x-a)>0
由极限的局部保号性：存在a的右邻域，使在此邻域内：[f(x)-f(a)]/(x-a)>0，又因为是右邻域，有x>a，因此得：f(x)>f(a)，然后在此邻域内取一个ξ就行了。
证明可以有导数
f'(x)=2ax+b 令f'(x)>0 得到2ax+b>0 因为a0
所以函数在区间（-∞，负2A分之B]上是增函数
回复:
右导数f'(a)>0说明总可得到一个f'(a+ε)>0，ε任意小，所以总有导数大于0的区间，即存在§属于(a,b)使得f(§)＞f(a)
回复:
这不是欺负不学高数的孩子吗？
回复:
考虑函数F(x)=（x-1）^2*f(x)，在[0,1]上满足罗尔定理条件，故存在一点a ，使得F'(a)=0 就得2（a-1）f(a)+(a-1)^2*f'(a)=0，化简得结论等式。
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设x1
回复:
f（x）=a^x若a小于0，则它的导数是什么 答：f(x)=a^x是指数函数，规定a>0，且a≠1；若a
