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设函数f(x)在区间[0,1]上连续,在(0,1)内可导,f(0)=0,|f(x)导数|<=|f(x)|,证明在[0,1]上f(x)恒等于0

发布网友 发布时间:2022-04-24 23:38

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热心网友 时间:2023-10-14 22:55

证明,|f(x)导数|<=|f(x)|,-f(x)<=f'(x)<=f(x),拉格拉日定理,得出 -f(x)<=f(x)/x<=f(x),不妨考虑x>0,小于0同理。两边同乘x,-f(x)*x<=f(x)<=f(x)*x,(1+x)*f(x)>=0,因1>x>0显然f(x)>=o,右边,(1-x)*f(x)<=0,x<1,显然只有f(x)<=0,故f(x)=0;,x小于0同理可得。
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