实数、自然数、整数的定义各是什么?

发布网友发布时间：2023-07-19 04:03

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热心网友时间：2024-10-04 04:12

实数：R、自然数：N、正整数：N*(非零自然数)、整数：Z

实数：是有理数和无理数的总称。数学上，实数定义为与数轴上的实数，是有理数和无理数的总称。数学上，实数定义为与数轴上的实数，点相对应的数。实数可以直观地看作有限小数与无限小数，实数和数轴上的点一一对应。

自然数：用以计量事物的件数或表示事物次序的数。即用数码0，1，2，3，4，……所表示的数。表示物体个数的数叫自然数，自然数由0开始，一个接一个，组成一个无穷的集体。自然数有有序性，无限性。分为偶数和奇数，合数和质数等。

正整数：和整数一样，正整数也是一个可数的无限集合。在数论中，正整数，即1、2、3……；但在集合论和计算机科学中，自然数则通常是指非负整数，即正整数与0的集合。

整数：整数的全体构成整数集，整数集是一个数环。

扩展资料

实数的性质

1、封闭性

实数集对加、减、乘、除（除数不为零）四则运算具有封闭性，即任意两个实数的和、差、积、商（除数不为零）仍然是实数。

2、有序性

实数集是有序的，即任意两个实数、必定满足并且只满足下列三个关系之一：，，。

3、传递性

实数大小具有传递性，即若，且，则有。

4、阿基米德性质

实数具有阿基米德性质（Archimedean property），即，，若，则∃正整数，。

5、稠密性

实数集具有稠密性，即两个不相等的实数之间必有另一个实数，既有有理数，也有无理数。

自然数的性质

1、有序性。

自然数的有序性是指，自然数可以从0开始，不重复也不遗漏地排成一个数列：0，1，2，3，…这个数列叫自然数列。一个集合的元素如果能与自然数列或者自然数列的一部分建立一一对应，我们就说这个集合是可数的，否则就说它是不可数的。

2、无限性。

自然数集是一个无穷集合，自然数列可以无止境地写下去。

对于无限集合来说“，元素个数”的概念已经不适用，用数个数的方法比较集合元素的多少只适用于有限集合。为了比较两个无限集合的元素的多少，集合论的创立者德国数学家康托尔引入了一一对应的方法。

3、传递性：设 n1，n2，n3 都是自然数，若 n1>n2，n2>n3，那么 n1>n3。

4、三岐性：对于任意两个自然数n1，n2，有且只有下列三种关系之一：n1>n2，n1=n2或n1<n2。

5、最小数原理：自然数集合的任一非空子集中必有最小的数。具备性质3、4的数集称为线性序集。容易看出，有理数集、实数集都是线性序集。

但是这两个数集都不具备性质，例如所有形如nm（m>n，m，n 都是自然数）的数组成的集合是有理数集的非空子集，这个集合就没有最小数；开区间（0，1）是实数集合的非空子集，它也没有最小数。