如何求函数y=shx的反函数

发布网友发布时间：2022-04-24 18:55

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热心网友时间：2022-06-09 21:18

y=shx(x∈R)的反函数如下：

^y=sh(x)=(e^x-e^-x)/2：

令e^x=t>0；2y=t-1/t；t²-1-2yt=0；t=y+√(y²+1) (y-√(y²+1)<0)

∴e^x=y+√(y²+1)

x=ln[y+√(y²+1)]

∴反函数：y=ln[x+√(x²+1)]

反函数的性质：

用自然语言来说就是，反函数的导数，等于直接函数导数的倒数。这话有点绕，不过应该能读懂，这个似乎就进一步揭示了反函数符号的意义。

在这里要说明的是，y=f(x)的反函数应该是x=f-1(y)。只不过在通常的情况下，我们将x写作y，y写作x，以符合习惯。所以，虽然反函数和直接函数不互为倒数，但是各自导函数求出后，二者却是互为倒数。

热心网友时间：2022-06-09 21:19

对于 y = shx 的反函数来说，y就是自变量，x就是函数了。
但人们习惯用y来表示函数，用x来表示自变量。

所以，先按照反函数中自变量和函数的表示方式，表达正函数。也就是在正函数 y = shx 中，把x,y互换。
就变成了
x = shy = [e^y - e^(-y)]/2。

在这个形式下，还是要发现 y 关于 x 的表达式。
所以，先令 u = e^y >0, [找到u 关于x的表达式]

x = [ u - 1/u ]/2

得到 u = u(x) = x + (x^2 + 1)^(1/2)
[另外一个解 u = x - (x^2 + 1)^(1/2) < 0,舍掉了 ]

再根据
u = e^y = x + (x^2 + 1)^(1/2)
解出，y 关于 x的表达式，
y = ln[x + (x^2 + 1)^(1/2)]
从而得到反函数
y = ln[x + (x^2 + 1)^(1/2)]

热心网友时间：2022-06-09 21:19

简单计算一下即可，答案如图所示

热心网友时间：2022-06-09 21:20

计算y (y^2 1)^(1/2)即可得到其等于e^x,再求出反函数