可积不一定存在原函数 ，原函数存在不一定可积举个例子说明下
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发布时间：2022-04-24 21:19
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时间：2023-10-11 14:35
1.
Riemann可积不一定存在原函数.
f(x)存在原函数,
即存在可导函数F(x),
使f(x)
=
F'(x)对定义域内的任意x成立.
可以用Lagrange中值定理证明:
若F(x)在一个区间上处处可导,
则导函数F'(x)在该区间内没有第一类间断点.
基于如上观察,
可以构造如下例子:
取f(x)
=
0,
当0
≤
x
<
1/2,
取f(x)
=
1,
当1/2
≤
x
≤
1.
f(x)在[0,1]上有界,
且只有一个间断点x
=
1/2,
因此f(x)在[0,1]是Riemann可积的.
但是x
=
1/2是f(x)的第一类间断点,
因此f(x)在[0,1]没有原函数.
如果取F(x)
=
∫{0,x}
f(t)dt,
会发现F(x)在x
=
1/2处是不可导的,
f(x)
=
F'(x)在该点不成立.
2.
原函数存在不一定Riemann可积.
在闭区间[a,b]上Riemann可积需要两个方面的条件:
有界性和连续性(不连续点是零测集).
从前者入手比较容易:
在x
≠
0处,
取F(x)
=
x^(4/3)·sin(1/x),
则F'(x)
=
-cos(1/x)/x^(2/3)+4x^(1/3)·sin(1/x)/3.
在x
=
0处,
取F(0)
=
0,
则F'(0)
=
lim{x
→
0}
F(x)/x
=
lim{x
→
0}
x^(1/3)·sin(1/x)
=
0.
F(x)处处可导.
且对任意正整数k,
F'(1/(2kπ))
=
-(2kπ)^(2/3),
因此F'(x)在0的任意邻域内无界.
于是f(x)
=
F'(x)在[-1,1]上存在原函数,
但不是Riemann可积的(因为不是有界的).
实际上,
存在F(x)在R上处处可导,
导数有界,
但导数不是Riemann可积的(导数的不连续点不零测).
构造比较复杂,
参考链接(只找到英文的):
http://en.wikipedia.org/wiki/Volterra's_function
可积不一定存在原函数 ,原函数存在不一定可积举个例子说明下_百度知 ...
但是x = 1/2是f(x)的第一类间断点, 因此f(x)在[0,1]没有原函数.如果取F(x) = ∫{0,x} f(t)dt, 会发现F(x)在x = 1/2处是不可导的, f(x) = F'(x)在该点不成立.2. 原函数存在不一定Riemann可积.在闭区间[a,b]上Riemann可积需要两个方面的条件: 有界性和连续性(不连...
高数问题,求举个例子,可积不一定存在原函数,存在原函数也不一定可...
只要第一类间断点是可数的就是可积的(因为改变某些点的函数值不影响积分的值)第二类间断点中无穷间断点不会有原函数，对于震荡间断点不能确定是否有原函数
高数问题,求举个例子,可积不一定存在原函数,存在原函数也不一定可积
1. 可取f(x)如下（定义在(-1,1)上)： 当x在(-1,0]内时，f(x)=0；当x在(0,1)内时，f(x)=1. f(x)可积但不 存在原函数。2. g(x)=1/x在(0,1)上存在原函数lnx, 但g(x)在(0,1)上不可积。3. 可能可积（如例1），但不一定可积 4. 对于第二类间断点，可积不一定非...
可积是否一定存在原函数
是这样的，可积不一定存在原函数。正好用一楼的例子，他给的函数存在第一类间断点，在某个闭区间内可积，如[-1,1]，可是原函数是不存在的，因为原函数必连续，只能说在x=0两边的区间内分别存在原函数，但是对于在给定的包括0的整个定义域内的函数来说原函数是不存在的。不知道说的是否明白，第一...
原函数存在与函数可积这个怎么理解?
第一，两者绝对不等价，原函数存在不一定可积，譬如，F（X)的导数为f(x),但是f(x)是无界的，当然不可积，这样的例子是存在的，我手里有很多，建议数字符号不好输，我就不列举了。第2，可积不一定存在原函数，因为当f(x)有界，且存在有限个间断点是可积的，但是一旦这个间断点是第一类间断点...
可积一定存在原函数吗?
可积不一定存在原函数。函数可积，只能知道他的变限积分所构造的函数连续。连续是比可积稍强的条件，也就是说，闭区间连续一定可积，且必有原函数，而且该函数的原函数一定可导。勒贝格积分是在勒贝格测度理论的基础上建立起来的，函数可以定义在更一般的点集上，更重要的是它提供了比黎曼积分更广泛有效...
函数可积一定存在原函数吗?
可积但原函数不一定存在,原函数存在不一定可积，二者没有必然关系。若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则函数f(x)一定可积且原函数存在；若函数f(x)在区间[a,b]上存在有限个间断点，则函数f(x)一定可积，而原函数的存在性需要通过判断间断点的连续性来得出原函数是否存在。
函数可积一定存在原函数吗?
函数可积不一定存在原函数。 因为这是两个概念，函数可积指的是函数的定积分存在，而函数存在原函数则是涉及不定积分的概念。一个函数，可以存在不定积分，而存在定积分；也可以存在定积分，而不存在不定积分。一个连续函数，一定存在定积分和不定积分；若只有有限个间断点，则定积分存在；若有跳跃...
不存在原函数是否可积?
不存在原函数也有可能可积，因为函数可积不一定存在原函数。已知函数f(x)是一个定义在某区间的函数，如果存在可导函数F(x)，使得在该区间内的任一点都有dF(x)=f(x)dx，则在该区间内就称函数F(x)为函数f(x)的原函数。例如：sinx是cosx的原函数。原函数存在定理 函数族F(x)+C(C为任一个...
函数可积不一定有原函数,对吗?
设F(x)是f(x)的一个原函数，即F'(x)=f(x)由于可导必连续，既然F(x)可导，它一定连续.一个区间上，可积，则他的变限积分在这个区间上是连续的，变限积分加上任意常数c，就是这个函数的不定积分，就是所有原函数的可能性。既然变限积分是连续的，加c之后自然也是连续的。
