请问函数可积与原函数存在的关系

发布网友 发布时间：2022-04-24 21:19

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热心网友 时间：2022-07-11 10:45

可积和原函数存在完全两个概念。可积但原函数不一定存在，原函数存在不一定可积，二者没有必然关系。

可积的充分条件：函数连续或函数在区间上有界且有有限个间断点。或函数在区间单调。

原函数存在的充分条件：连续。另外函数含有第一类间断点，那么不存在原函数，含无穷型的间断点也不存在原函数。

问题一：否，若f(x)存在原函数F(x),那么F'(x)=f(x),若f(x)在x=c是跳跃间断点，必然，f(c 0)≠f(c-0),这就导致F'(c 0)≠F'(c-0)，故F'(c)不存在，与F'(c)=f(c)矛盾。可去间断点F'(c 0)=F'(c-0)，但是显然他们都不等于F'(c)[例如F'(c 0)=f(c 0)≠f(c)],事实上，函数存在第一类间断点，必然没有原函数。

问题二：是。有限个间断点不影响可积性，若存在原函数F‘(x)=f(x),根据函数的性质，可导函数必连续，可知F(x)连续。

扩展资料：

原函数存在定理为:若f(x)在[a,b]上连续,则必存在原函数。此条件为充分条件，而非必要条件。即若fx）存在原函数，不能推出f(x)在[a,b]上连续。

由于初等函数在有定义的区间上都是连续的，故初等在其定义区间上都有原函数。需要注意的是初等函数的导数是一定是初等函数，初等函数的原函数不一定是初等函数。

设F'（x）=f(x)，f（x）在x=x0处不连续，则x0必为第二类间断点（对于考研数学，只能是第二类振荡间断点），而非第一类间断点或第二类无穷间断点。

当f(x)存在第二类振荡间断点时，不能确定是否存在原函数，这种情况下结论与f(x)的表达式有关。

原函数存在的三个结论：

如果f(x)连续，则一定存在原函数；

如果f(x)不连续，有第一类可去、跳跃间断点或第二类无穷间断点，那么包含此间断点的区间内，一定不存在原函数；

如果f(x)不连续，有第二类振荡间断点，那么包含此间断点的区间内，原函数可能存在，也可能不存在。 

函数乘积的可积性：

设函数  在区间  上可积，那么乘积  也可积。

函数绝对值的可积性：

如果函数  在区间  上可积，那么它的绝对值函数  也可积，并且满足：

参考资料：百度百科---可积函数

参考资料：百度百科---原函数存在定理

热心网友 时间：2022-07-11 12:03

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热心网友 时间：2022-07-11 15:29