可积与原函数存在是什么关系?

发布网友 发布时间：2022-04-24 21:19

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热心网友 时间：2022-07-11 10:45

可积和原函数存在完全两个概念。可积但原函数不一定存在，原函数存在不一定可积，二者没有必然关系。
可积的充分条件：函数连续或函数在区间上有界且有有限个间断点。或函数在区间单调。
原函数存在的充分条件：连续。另外函数含有第一类间断点，那么不存在原函数，含无穷型的间断点也不存在原函数。
问题一：否，若f(x)存在原函数F(x),那么F'(x)=f(x),若f(x)在x=c是跳跃间断点，必然，f(c
0)≠f(c-0),这就导致F'(c
0)≠F'(c-0)，故F'(c)不存在，与F'(c)=f(c)矛盾。可去间断点F'(c
0)=F'(c-0)，但是显然他们都不等于F'(c)[例如F'(c
0)=f(c
0)≠f(c)],事实上，函数存在第一类间断点，必然没有原函数。
问题二：是。有限个间断点不影响可积性，若存在原函数F‘(x)=f(x),根据函数的性质，可导函数必连续，可知F(x)连续。
扩展资料：
原函数存在定理为:若f(x)在[a,b]上连续,则必存在原函数。此条件为充分条件，而非必要条件。即若fx）存在原函数，不能推出f(x)在[a,b]上连续。
由于初等函数在有定义的区间上都是连续的，故初等在其定义区间上都有原函数。需要注意的是初等函数的导数是一定是初等函数，初等函数的原函数不一定是初等函数。
设F'（x）=f(x)，f（x）在x=x0处不连续，则x0必为第二类间断点（对于考研数学，只能是第二类振荡间断点），而非第一类间断点或第二类无穷间断点。
当f(x)存在第二类振荡间断点时，不能确定是否存在原函数，这种情况下结论与f(x)的表达式有关。
原函数存在的三个结论：
如果f(x)连续，则一定存在原函数；
如果f(x)不连续，有第一类可去、跳跃间断点或第二类无穷间断点，那么包含此间断点的区间内，一定不存在原函数；
如果f(x)不连续，有第二类振荡间断点，那么包含此间断点的区间内，原函数可能存在，也可能不存在。
函数乘积的可积性：
设函数
在区间
上可积，那么乘积
也可积。
函数绝对值的可积性：
如果函数
在区间
上可积，那么它的绝对值函数
也可积，并且满足：
参考资料：百度百科---可积函数
参考资料：百度百科---原函数存在定理

热心网友 时间：2022-07-11 12:03

楼上自己不清楚就别误人子弟了 原函数存在与是否可积没有必然的联系 可积是定积分存在即面积存在 有没有原函数是指是否有函数FX求导可以得到函数f`x

热心网友 时间：2022-07-11 13:38

可全书(经济类)第144页f(x)在区间内有跳跃间断点f(x)在该区间不存在原函数
f(x)在区间内有第二类间断点则须对f(x)作具体分析才能判断f(x)是否存在原函数
可见f(x)存在原函数并不保证f(x)连续
函数可积的三个充分条件闭区间连续
闭区间有有限个间断点(并没说明那类间断点)闭区间单调
可见原函数的存在要比可积的条件严格顾认为原函数存在一定可积而可积原函数不一定存在
这样说对吗
还是这两者之间根本无关系

热心网友 时间：2022-07-11 15:29

存在原函数即可积。
原函数的导数即是该函数。