有原函数不一定可积吗
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发布时间：2022-04-24 21:19
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时间：2023-10-15 21:29
1.Riemann可积不一定存在原函数.
f(x)存在原函数,即存在可导函数F(x),使f(x) = F'(x)对定义域内的任意x成立.
可以用Lagrange中值定理证明:
若F(x)在一个区间上处处可导,则导函数F'(x)在该区间内没有第一类间断点.
基于如上观察,可以构造如下例子:
取f(x) = 0,当0 ≤ x < 1/2,取f(x) = 1,当1/2 ≤ x ≤ 1.
f(x)在[0,1]上有界,且只有一个间断点x = 1/2,因此f(x)在[0,1]是Riemann可积的.
但是x = 1/2是f(x)的第一类间断点,因此f(x)在[0,1]没有原函数.
如果取F(x) = ∫{0,x} f(t)dt,会发现F(x)在x = 1/2处是不可导的,f(x) = F'(x)在该点不成立.
2.原函数存在不一定Riemann可积.
在闭区间[a,b]上Riemann可积需要两个方面的条件:有界性和连续性(不连续点是零测集).
从前者入手比较容易:
在x ≠ 0处,取F(x) = x^(4/3)·sin(1/x),则F'(x) = -cos(1/x)/x^(2/3)+4x^(1/3)·sin(1/x)/3.
在x = 0处,取F(0) = 0,则F'(0) = lim{x → 0} F(x)/x = lim{x → 0} x^(1/3)·sin(1/x) = 0.
F(x)处处可导.且对任意正整数k,F'(1/(2kπ)) = -(2kπ)^(2/3),因此F'(x)在0的任意邻域内无界.
于是f(x) = F'(x)在[-1,1]上存在原函数,但不是Riemann可积的(因为不是有界的).
实际上,存在F(x)在R上处处可导,导数有界,但导数不是Riemann可积的(导数的不连续点不零测).
有原函数不一定可积吗?
有原函数不一定可积的，有些函数它虽然有原函数但是对其积分后，但不能用初等函数来表示。我们在现阶段就说它不可积。f(x)在[a,b]上有原函数是指：F（x）的导数是f(x).f(x)在[a,b]上可积是指：黎曼和（积分和）S总有一个确定的极限。若f(x)在[a,b]上有原函数，并且连续，那么f(...
有原函数不一定可积吗?
有原函数存在则函数不一定可积分（函数为f(x),原函数为F(x)，该命题要在函数f(x)在定义域内连续才可积分。数学上，可积函数是存在积分的函数。除非特别指明，一般积分是指勒贝格积分；否则，称函数为"黎曼可积"（也即黎曼积分存在），或者"Henstock-Kurzweil可积"，等等。黎曼积分在应用领域取得了...
函数有原函数一定可积吗
该数有原函数一定可积。如果一个函数有原函数，那么该函数一定是可积的。原函数是微分的逆运算，可以通过不定积分求得。不定积分是在给定区间上的积分，其结果是一个函数，这个函数称为原函数。函数指一个量随着另一个量的变化而变化，或者说一个量中包含另一个量。
原函数存在一定可积吗?
可积和原函数存在完全两个概念。两者不能互推。可积但原函数不一定存在，原函数存在不一定可积，二者没有必然关系。
请问函数可积与原函数存在的关系
可积和原函数存在完全两个概念。可积但原函数不一定存在，原函数存在不一定可积，二者没有必然关系。可积的充分条件：函数连续或函数在区间上有界且有有限个间断点。或函数在区间单调。原函数存在的充分条件：连续。另外函数含有第一类间断点，那么不存在原函数，含无穷型的间断点也不存在原函数。问题一...
存在原函数一定可积吗?
函数可积不一定存在原函数。按条件的强度来说，可积是个较弱的条件，因为可积的充分条件是“在闭区间上有界且只有有限个间断点。”可积的条件：可积的必要条件就是函数有界。函数可积，只能知道他的变限积分所构造的函数连续。连续是比可积稍强的条件，也就是说，闭区间连续一定可积，且必有原函数...
若函数在区间上有原函数,这函数是否在该区间上一定可积?
【答案】：不一定．例如函数容易知道F(x)在(-∞，+∞)上可导，且即函数f(x)在(-∞，+∞)上有原函数F(x)，但由于函数f(x)在x=0的任一邻域内无界，故函数f(x)在包含x=0的区间上不可积．
为什么有原函数存在不一定可积分?
有原函数存在则函数不一定可积分（函数为f(x),原函数为F(x)，该命题要在函数f(x)在定义域内连续才可积分。处有无界间断，这只需要注意这一项就够了。这样一来，在上就不可积，因为无界函数没有黎曼积分。闭区间 直线上介于固定的两点间的所有点的集合（包含给定的两点）。 闭区间是直线上的连...
可积和存在原函数有什么区别
可积和存在原函数的区别在于存在原函数的话，就一定可积，用牛莱公式就可以计算出积分值，可积分就是能算面积，反常积分如果可能可积，但不存在原函数。可积函数是存在积分的函数。除非特别指明，一般积分是指勒贝格积分。否则，称函数为黎曼可积（也即黎曼积分存在），或者Henstock-Kurzweil可积等等。给...
可积与存在原函数有什么不同,它们的条件各是什么?
存在原函数，就一定可积，用牛莱公式就可以计算出积分值，可积分就是能算面积，反常积分如果可能可积，但不存在原函数。注意事项：原函数存在定理为：若f(x)在[a，b]上连续，则必存在原函数。此条件为充分条件，而非必要条件。即若fx）存在原函数，不能推出f(x)在[a，b]上连续。由于初等函数在...
