高二数学不等式证明

发布网友发布时间：2023-07-17 17:35

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热心网友时间：2023-08-24 08:23

1/2 (1/a + 1/b) >= 根（（1/a） * （1/b）) = 根( 1/(ab)) = 根(c)
同理：
1/2（1/b + 1/c) >= 根(a)
1/2（1/c + 1/a) >= 根(b)

上面三个不等式相加，即得结论。

热心网友时间：2023-08-24 08:24

首先，这种题目重要的是配出齐次的格式，因为在齐次的格式下能很简单的运用基本不等式的种种变化进行运算，而且题设abc=1 也是一个很好的使用齐次的方式（除几个abc来调整次数。）
先设x^2=a, y^2=b,z^2=c （简便格式而已），并且设x,y,z >0
原式等于
abc=(xyz)^2=1 那么xyz=1
x+y+z<=1/x^2+1/y^2+1/z^2 （发现左边是1次的，右边是负2次的）
那么就是给右边加上3次那么可以直接乘上xyz，
有
x+y+z<= yz/x+xz/y+xy/z
直接两边再次乘上xyz
x^2yz+xy^2z+xyz^2<=(yz)^2+(xz)^2+(xy)^2
然后设
q=yz, w=zx，e=xy
原式变成
we+qe+wq<=q^2+w^2+e^2
这个式子只用移项配方就可以解决了。

看到这种1.各项对称 2.有预设条件（类似abc=1 a+b+c=1啦），可以用来调整次数的不等式
都可以先将两边次数调整为齐次以后进行处理，而且一般通过简单的换元和基本不等式就可以搞定了。